Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
303
порционально его напряженности Е. Итак,
E~Dj, или р~ D. (5.162)
Коэффициент пропорциональности характеризует не процесс рассеяния, а электронную подсистему. В частности, для вырожденной статистики он не может зависеть от температуры (так как от нее не зависит характерная скорость электронов).
Определим зависимость от Т коэффициента диффузии. По аналогии с обычной диффузией в газах можно записать для среднего изменения волнового вектора за время At:
(Aq)2~DAt. (5.163)
За время W~l величина q2 изменяется примерно на квадрат величины (5.157), откуда
D~ W (къ T/hs)2 ~Ts/9*d . (5.164)
С учетом (5.163) и (5.164) и соображений размерности имеем для р ш къ Т { Т \ *
Р--------Г -М—)¦ (5.165)
Ne h 'BD>
Итак, сопротивление металлов при низких температурах, обусловленное электрон-фононным рассеянием, убывает с понижением Т как Ts. Для процессов релаксации энергии (теплопроводности) роль времени релаксации играет просто W~l, а не W~l (T/0D)2, как для релаксации импульса. Поэтому при низких температурах закон Видемана — Франца должен нарушаться (конечно, в том случае, если дефектов сравнительно немного и основную роль играет все же электрон-фононное рассеяние) .
Рассуждения, приведенные в § 4.8, показывают, что электрон-электрон-ное рассеяние дает вклад в частоту релаксации порядка
Гее1~{къТ)2Щ0 (5.166)
(но только в том случае, если поверхность Ферми открытая и разрешены процессы переброса). Сравнение (5.165) с (5.166) показывает, что вклад (5.166) становится равным частоте релаксации импульса при рассеянии на фононах лишь при низких температурах
T?9d (*Б0о/?о)1/3.
Фактически, однако, вклад электронно-электронного рассеяния в т-1 значительно меньше предсказанного по (5.166); по-видимому, он содержит малые численные множители. Во всяком случае, экспериментальное выделение вклада ~Т2 в сопротивлении металлов затруднено, а интерпретация данных часто неоднозначна.
5.3.3. Полярон
Перейдем теперь к рассмотрению другого эффекта электрон-фононной связи — перенормировке спектра носителей тока. Особенно значителен этот эффект в ионных кристаллах, оксидах и халкогенидах d- и /-элементов и некоторых других полупроводниках. В основном электрон вза-
304
имодействует с продольными оптическими модами колебаний решетки, ибо они сопровождаются возникновением дипольного момента и значительных кулоновских сил (в 5.3.2 мы могли не учитывать оптические фононы, так как их число при низких температурах экспоненциально мало; здесь, как мы увидим, существенны виртуальные фононы и взаимодействие с ними очень важно даже при Т = ОК)1.
Пренебрежем для простоты дисперсией частоты оптических фононов и запишем их гамильтониан в виде
ЗСфон 2 b*q bq. (5.167)
ч
Вектор поляризации Р пропорционален смещениям атомов подрешеток и может быть записан в виде
P = eFZeq [bq ехр (iqr) + bq ехр (-/?/¦)], (5.168)
ч
где eq — вектор поляризации фонона, F — вещественная (в силу эрми-товости оператора Р) постоянная, которую мы определим ниже. Плотность поляризационного заряда, как известно из электродинамики, равна
р = — div/* = iFe Z eqq [bq exp (iqr) — bq exp (—iqr)]. (5.169)
4
Из (5.169) видно, что вклад в возмущение плотности заряда дает только продольная мода, для которой eq II q (для двух других оптических мод в решетке с двумя атомами на элементарную ячейку eq 1 q — поперечные моды). При этом оператор плотности ’’решеточного” заряда равен
р = е Z [vq ехр (iqr) + v*_q ехр (-/?/¦)], vq=iF\q\ bq. (5.170)
ч
Тогда, аналогично (5.69), потенциальная энергия электрона в точке г (электростатический потенциал, умноженный на е) равна
V (г) = 4яе2 X q~2 [vq ехр (iqr) + vq ехр (-iqr)] = ч
= 4mFe2 Z | q Г1 [bq exp (iqr) + b*q exp (-/gr)]. (5.171)
ч
Взаимодействие электронов с оптическими фононами приводит, в частности, к возникновению эффективного притяжения между электронами. Рассмотрим случай электронов, находящихся на большом расстоянии, когда интересующий нас эффект можно, по-видимому, рассматривать по теории возмущений. Первый электрон переводит (виртуально) систему в возбужденное состояние | q), соответствующее рождению оптического фонона. Затем этот фонон поглощается (виртуально) вторым электроном. Математически это выражается в известной формуле для энергии основного состояния во втором порядке теории возмущений:
bE{rltr2)=- —'— Z [< 0 | V(ri)\q)(q \ К(г2)|0> + flCJo Ч
1 Наше изложение близко к монографии Киттеля Ч. Квантовая теория твердого тела:
Пер. с англ./Под ред. А.А. Гусева - М.: Наука, 1967, гл. 7.
