Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вонсовский С.В. -> "Квантовая физика твердого тела." -> 147

Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.

Вонсовский С.В., Кацнельсон М.И. Квантовая физика твердого тела. — М.: Наука, 1983. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): vonsovskiykvantovayafizika1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 164 >> Следующая


(предоставляемчитателям доказать это). Следовательно, гамильтониан взаимодействия электронов с фононами должен быть линейным по тензору деформации

(под повторяющимся тензорным индексом подразумевается суммирование). Оператор А называется деформационный потенциалом, способы его вычисления здесь не обсуждаются2.

1 Ради простоты предположим, что в каждой ячейке решетки находится один атом, и будем рассматривать только акустические ветви колебаний, поэтому I - индекс ячейки.

2 Несколько устаревшее, но очень ясное физичеокое обсуждение этого можно найти

в книге Займан Дж. Электроны и фононы: Пер. с англ./Под ред. B.JL Бонч-Бруе-

вича. - М.: Мир, 1962.

6м/ = б tp [ л/{ / ]

(5.142)

(5.143)

йп. = 2 Aal3(pi,?r,R?)ual3(R?)

(5.144)

299
Учтем теперь выражение для u(Rf), которое может быть получено из формулы (2.145), а также (2.16)

и (Л? ) = / 2 (h/2MNcjqj)1 /2ехр(iqR?) eqj (ft- b_qj), (5.145)

4i

COqj = Sj\q I, (5.146)

где Sj - скорости звука. По (5.143) легко вычислить иад. Запишем матричный элемент гамильтониана (5.144), отвечающий рассеянию электрона из состояния I к') в состояние I к) (зонный индекс для простоты опускаем; межзонным рассеянием пренебрегаем) с одновременным поглощением или испусканием фонона I qj). При этом Л действует только на электронные переменные, a b + , b — на фононные, матричные элементы последних равны1

<% I Ь+j INqj - 1 > = 7 (Nqj I bqj INqj + 1 > = V%+ l,1 (5-147)

где Nqj — число фононов в соответствующем состоянии. В итоге получаем

(к, Nqj lJCin, Iк', Nqj+l) = [h(% + l)/2MNuqj]'A X

X xh (qaeqi-e + q0eqj.a) 2 exp (iqR f)f dr Ф1 (r) (p, r\R°) фк (r).

' (5.148)

Воспользуемся теоремой Блоха (4.2.1). Заменим в (5.148) под знаком интеграла г -*r — R° и учтем, что в силу пространственной однородности А(р, г; R?) зависит лишь от г ~R°. Тогда

5 dr № (г) Ла0 (р, r\R°i ) фк (г) = ехр [/ (к' ~k)R?] . (5.149)

Далее

2 ехр [/' (к' - к + q) R°] = Z8k,-k+q,b* (5.150)

i g *

где bg — векторы обратной решетки (см. (1.22)). Подставляя (5.149),

(5.150) в (5.148), находим

<к, Nqj I An, \k,Nqj + 1> = lA [h(Nqj+\ )/2MNojqj]ll2X

X (qaeqj\ (3 + Qj)eqj, a) ^ ^k'-k+q, bg. (5.151)

Для процесса с испусканием фонона надо сделать замену Nq,- + 1 ~*Nqj, согласно (5.147). Из (5.146) следует, что при q -* 0 вероятность такого процесса, пропорциональная квадрату модуля матричного элемента, обращается в нуль ~q.

Теперь можно записать интеграл столкновений электронов с фононами (см. 3.6.1). Число электронов, рассеянных из состояния к и в это состояние в единицу времени, запишется так:

Цпк] =Ь+-Ь_ = 2 [w(k'q\k) [ну (1 -nk)Nq -ч

- пк (1 - nk)(Nq + 1)] 5 (е* - 6*’ - heoq)I,8kjc'+q+bg -

g

- w (k'\kq)[nk’ (1 -nk)(Nq + 1 )-nk (1 -nk')Nq] X

X 5 (6* - 6* +hcofl)25k\k+q+b; (5.152)

___________ g *

1 Выражение (5.147) легко получить из определения Ь * , Ь в 2.2.4.

300
(для простоты опускаем индекс j у чисел фононов). Здесь w(k', q\ к) и w(k'\ kq) — квантовомеханические вероятности соответствующих переходов с испусканием и поглощением фононов, вычисленные в первом порядке теории возмущений (конечные состояния указаны первыми).

5.3.2. Температурная зависимость

электропроводности металлов

Воспользуемся полученным интегралом столкновений и оценим вклад электрон-фононного рассеяния в электросопротивление металлов. Мы не будем решать кинетическое уравнение, а воспользуемся простыми полуколичественными соображениями1.

Прежде всего отметим, что в отличие от рассеяния нейтронов на решетке, рассеяние на нулевых колебаниях не дает вклад в сопротивление. Нетрудно убедиться, что при = 0 цнтеграл столкновений (5.152) равен нулю. Для этого необходимо заменить к ^ к' в Ь_ и воспользоваться равенством

w(k',k'q) = w(k'q\k), (5.153)

справедливым в низшем порядке теории возмущений2.

Первый расчет электропроводности, данный Блохом (1930), основывался на предположении о равновесии фононов, т.е. о возможности использования в (5.152) для Nq выражения (2.55). Это, конечно, требует обоснования. Если в системе нет примесей и других дефектов и мы пренебрегаем процессами переброса (см. ниже), импульс, переданный' от электронов фононам, частично возвращается в электронную подсистему и возникает совместный дрейф электронов и фононов с постоянной скоростью. При этом сопротивление вообще будет равно нулю (ср. 2.4.3). Для того чтобы получить конечное его значение, одна из подсистем должна поглощать импульс, будучи жестко закрепленной. Роль такой системы играют примеси или решетка как целое (процессы переброса). Обмен импульсом между подсистемами изображен на рис. 5.4. Эффект неравновесной фононной подсистемы в рассматриваемых условиях называется увлечением. Оно существенно, если рассеяние на примесях достаточно слабое, а процессы переброса затруднены. Так, если поверхность Ферми не касается границ зоны Бриллюэна (рис. 5.5, а, б)3, процессы переброса разрешены только при достаточно больших волновых векторах фонона q, а при низких температурах число таких фононов экспоненциально мало:
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed