Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
С.И. Пекар нашел энергию основного состояния гамильтониана (5.188) прямым вариационным методом (см. 4.5.1) с использованием пробной функции вида
Рассматривая движущийся полярон, т.е. считая iP,D,P функциями г — -vt, добавляя кинетическую энергию ионов, можно определить его эффективную массу. Минимальная энергия при фиксированной малой скорости v имеет вид
где т* естественно считать эффективной массой полярона2.
Л.Д. Ландау и С.И.Пекар (1948) получили для эффективной массы при а~10 (случай NaCl) перенормировку в сотни раз. Таким образом, полярон сильной связи является очень медленной (тяжелой) квазичастицей. В связи с этим может измениться характер процессов переноса, в которых он участвует. Дело в том, что обычное кинетическое уравнение применимо в случае, когда время свободного пробега г много больше времени удара. Тогда эа время г успевает произойти много столкновений и будет утрачена часть информации о движении электрон-фононной системы, так что оставшаяся часть исчерпывающим образом описывается электронной и фононной функциями распределения, но не более сложными характеристиками, описывающими скоррелированное движение многих электронов и фононов. Для очень тяжелых квазичастиц и сильного рассеяния время пробега порядка времени удара, и подход, основанный на кинетическом уравнении, перестает быть применимым (или, по крайней мере, нуждается в модификации). Поляронный перенос — это сложная и далеко не до конца исследованная проблема. Она решается по-разному в зависимости от того, велик ли радиус полярона /0 по сравнению с периодом решетки d (все наши выкладки относились к случаю полярона большого радиуса l0 >d\ в противном случае говорят о поляроне малого
1 Первый член можно оценить из соотношения неопределенностей: если неопределенность координаты электрона в яме ~/, то импульс ~h//, а кинетическая энергия ~h2/ml2; второй член - электростатическая энергия электрона в области избыточного положительного заряда размером /.
2 См. работу Ландау ЛЛ., Пекар С.И. - ЖЭТФ, 1948, т. 18, с. 419.
Э г h2 е2
эм.тГГ 7Т J /=/
' *0
(5.189)
Тогда
Е (/о) ~ - me*/h2e*2 ~ — hcj0a2 .
(5.190)
Ф(г) = (Р 1 +02Г + 0эГ2У13'г Результат таков:
Е0 = -0,1088а2 Ьы0.
(5.191)
(5.192)
Е = Е0 + m*v212,
(5.193)
308
радиуса). Наиболее, по-видимому, сложен случай кинетических свойств поляронов большого радиуса промежуточной и сильной связи.
5.3.4. Феномен Купера
В 5.3.3 мы видели, что электрон-фононное взаимодействие приводит к эффективному притяжению между электронами. Последнее вызывает радикальную перестройку основного состояния электронной подсистемы — переход в сверхпроводящее состояние. Здесь мы рассмотрим задачу, решение которой указывает на такую неустойчивость (Купер Л., 1956). Рассмотрим взаимодействие двух электронов,потенциал которого имеет вид V (rt - г2); оба электрона находятся в состояниях на поверхности Ферми. Уравнение Шредингера для пары имеет вид
h2
- — (Д, + А2)Ф(г1 ,r2) + V(ri -г2)ф(г1,г2) =
2т
= (?¦+ Ъ2кф1т)ф(г1,г2), (5.194)
где энергия Е отсчитывается от удвоенной энергии Ферми. Разложим Ф(г1,Гг), V(ri ~г2) в двойные ряды Фурье:
Ф(^i * ^2) = 2 ехр/ (AciTi +к2г2) Фк,кг .
(5.195)
у (г 1 - г2) = 2 ехр Iq (г, - r2) Vq ¦
Я
Преобразуем вторую сумму в (5.194):
2 Уч Фкехр [/(*, +</)л, + i(k2 - q)r2] =
Чк,кг
= ? . Уя Фк’.-ч.к'^ч ехр [/(/fir, +к'2г2)]. (5.196)
Як
Приравнивая коэффициенты при одинаковых экспонентах (в силу их ортонормированности), получаем из (5.194) в силу (5.195) и (5.196)
h2 1
— [(*? -*2*)] Фк,к1 + — ? Vq фк1 -ч,к1+ч=Ефк1к1.
(5.197)
Введем новые переменные — квазиимпульс центра масс к и квазиимпульс относительного движения^по формулам
iT = /ci +k2, ki =к/2+К,
(5.198)
1
K= — (ki-k2), к2=к/2-К.
Нетрудно убедиться, что (5.197) связывает только ф с одним значением к.
309
Выберем значение к = 0 (это соответствует рассмотрению покоящейся пары; движущуюся пару можно рассматривать простым переходом к движущейся системе отсчета). Обозначив
h2
е*=Т“ (*2-*ф), ^ = Фк,-к, (5-199)
2т
получаем из (5.197)
1
2е* + ~ 2 Уд *Рк -q ~ ¦ (5.200)
N q
Это уравнение аналогично рассматривавшемуся в 4.7.1. Для того чтобы его решить, нам необходимо проанализировать вид Vq. Отметим до этого еще одно обстоятельство. До сих пор мы ничего не говорили об ориентации спинов выбранной электронной пары. Она должна иметь наименьшую энергию; для двухэлектронной системы это, в силу антисимметричности волновой функции электронов и некоторых общих теорем квантовой механики, достигается при антипараплельных спинах1. Итак, мы рассматриваем пару электронов с антипараллельными спинами и нулевым суммарным импульсом.
