Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
(7.3).
Для недиссипативной среды Vj = 0 и коэффициенты связи — вещественные величины. Это означает, что в качестве фазового угла Qij следует взять 0 или л в зависимости от знака соответствующего коэффициента связи. В результате система (7.3) упрощается:
53
dujdt = s12u12«1«2 cos Ф; dujdt = s02v0tu0u2 cos®; duj/d? = c01u01M0Mj cos Ф;
ЙФ — Am — f, UlUz -I~ с f, цоц2 _l_ с „ JWl.) «in (Г) — Aft) I s12u12 4- S02U02 + S01u01 1 Sin Ф,
dt \ Uq ua /
(7.5)
где Sjfe — знаковый множитель коэффициента связи Cjk- Абсолютные величины Cjh и vik зависят от нормировки Uj. В частности, при выводе энергетических соотношений удобно считать Uj=\Ej\.. Тогда
<W/> — (V4) (dDj/doij) uj
и с помощью (7.5) нетрудно получить следующее выражение для производной полной энергии волны:
dW 0 / dD0 dDr дОг \ ^
— = 2 ( S12 —5- V12 + So2 —Vq2 + % —v01 u0ихщ cos Ф. at - \ oci)0 ды1 da>2 J
Отсюда следует общее условие сохранения энергии
% U12 + % -^1- и02 4- s01 о01 = 0. (7.6)
(ЛХ)0 C/(0j (/COg
Для продольных волн это условие сводится к виду
(— to0 + О)! + со2) с = 0, (7.7)
так как dDj/daj = a)jdej/daj и, кроме того, согласно (6.8)
skivhi = + с/(дг/да).
Для поперечных волн
= + oj;c/[(l/<a;')d(tt)2e)/dM;], т. е. связанные нелинейные уравнения имеют вид дЕг оз.с — -
— = +------------ВД ехр (+ iAatt). (7.8)
dt dDj/da>j
Нетрудно, однако, убедиться, что и в этом случае условие сохранения энергии сводится к (7.7).
Отметим, что до сих пор не делалось никаких предположений относительно знаков dDj/daj и, следовательно, условие (7.7) справедливо при произвольном соотношении знаков энергий взаимодействующих волн. Кроме того, при использовании нормировки вида
и, = I {1/(0j) (dDj/dti>j) Щ Г/а (7.9)
все три коэффициента связи vjh в (7.5) становятся одинаковыми.
С законом сохранения энергии тесно связаны соотношения Мэнли — Роу [2]
(W»») «I — (W^oi)«! = Мц
Здесь Му и М2 — постоянные, определяемые начальными условиями. Соотношения (7.10) легко получить из системы (7.5). Она имеет еще три интеграла движения
и0щиг sin Ф — (Дсо/2) (shilvhi) и2 = Г, (7.11)
в чем нетрудно убедиться, домножив каждое из уравнений для d<f>i/dt на — uj(duj/dt), а каждое из уравнений для duj/dt на ¦Uj(d<fij/dt) и просуммировав затем все полученные уравнения.
При наличии рассогласования частот энергия волн согласно
(7.6) может и не сохраняться. Тем не менее и в этом случае можно ввести гамильтониан
Н = Sjd)jUj + 2v (и2 и2 и2)'^ sin (0О — 0Х — 02), (7.12)
/
при записи которого использована нормировка (7.9). Множитель Sj в (7.12) определяет знак энергии волны типа / и 0;=03+сOjt. Выбрав в качестве канонических переменных ы? и Sj0;-, можно убедиться в том, что из гамильтониана (7.12) действительно следует система (7.5). Первое слагаемое в (7.12) есть не что иное, как сумма энергий взаимодействующих волн, тогда как второе слагаемое обусловлено нелинейным взаимодействием волн и может <5ыть поэтому названо энергией взаимодействия. Учитывая вид интегралов движения (7.11), видим, что в условиях точного резонанса каждая из частей гамильтониана сохраняется по отдельности. Если же имеется рассогласование частот, то сохраняется лишь вся сумма в целом.
Из соотношения (7.6) следуют важные свойства коэффициентов связи. Если знаки энергий и частот всех взаимодействующих волн одинаковы, то один из коэффициентов связи должен иметь знак, противоположный двум другим. Это означает, что соответствующая амплитуда изменяется в направлении, противоположном направлению изменения остальных амплитуд, т. е. происходит обмен энергиями между волнами. Если же знак энергии волны с наибольшей частотой противоположен знаку энергий двух других волн, то все коэффициенты связи могут иметь одинаковые знаки, а это означает возможность одновременного увеличения амплитуд всех трех взаимодействующих волн без нарушения закона сохранения энергии. При наблюдении такого процесса в произвольной инерциальной системе отсчета частоты претерпевают доплеровский сдвиг и могут изменять знак. Однако тип взаимодействия должен быть инвариантен относительно перехода от одной инерциальной системы координат к другой. Отсюда вытекает возможность изменения знака энергии волны при преобразовании системы координат [3] (см. также гл. 10).
Отметим в заключение, что так же, как условие согласования частот приводит к закону сохранения энергии, условие согласования волновых векторов отвечает закону сохранения импульса.
