Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
55
Задачи
7.1. Выразить скорость уменьшения полной энергии волн через коэффициенты затухания Vj, дисперсионные функции Dj для электрического поля и амплитуды нормальных колебаний в случае системы трех затухающих волк с 0,j«О, ±я (влиянием затухания на Dj и cjk пренебречь).
7.2. Записать соотношения Мэнли—Роу с помощью энергий волн Wj и частот to j в предположении, что имеют место резонансные условия, использованные в гл. 7.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Wilhelmsson Н., Stenflo L., Engelmann F. — J. Math. Phys., 1970, v. 11, p. 1738.
2. Coppi B., Rosenbluth M. N.. Sudan R. N. — Ann. Phys., 1969, v. 55, p. 207.
3. Davidson R. C. Methods in Nonlinear Plasma Theory. N. Y. — Lond., Academic Press, 1972.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Manley J. М., Rowe H. E. — Proc. I. R. E., 1956, v. 44, p. 904.
Dysthe К. B. — Intern. J. Electronics, 1970, v. 29, p. 401.
Kaufman A. N., Stenflo L. — Plasma Phys., 1975, v. 17, p. 403.
ГЛАВА 8
ВОЛНЫ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ
Типичная система, в которой могут существовать волны с отрицательной энергией, — плазма с потоками заряженных частиц. Для упрощения ограничимся рассмотрением энергии волны в дрейфующей плазме и покажем, как эту энергию можно расщепить на энергию электрического поля в вакууме и энергию движения частиц (электронов) в волне. Появление отрицательной энергии связано с наличием слагаемого, пропорционального произведению осцилляций плотности и скорости электронов, которое становится отрицательным, если плотности и скорости колеблются в противоположных фазах. При определенной скорости дрейфа именно это слагаемое оказывается доминирующим. Рассмотрим также взаимный переход свободной энергии среды (в данном случае энергии дрейфа) и энергии поля волны, включая эффекты высшего порядка.
Система плазма — пучок
Выражение (4.10) для энергии поля волны указывает на гто, что в термодинамически-равновесной среде эта энергия всегда положительна. Если же невозмущенное состояние среды неравновесно, то энергия может быть отрицательной. Интересным примером такой среды является система плазма—пучок. Если волны возбуждаются только в пучке, то вместо ялазменно-пучковой системы
56
можно рассмотреть плазму с дрейфом заряженных частиц. Продольная диэлектрическая проницаемость такой системы имеет вид
б(?0, k)=l-w2pb/(a>~kVb)\ (8.1)
где сорь и Vj, — плазменная частота и скорость частиц пучка (температурные эффекты не учитываются).
Дифференцируя (8.1) по частоте и используя затем дисперсионное соотношение 8=0, получаем
де/да — 2со;У(со —kV„f = 2/(со —kVh) = + 2/м;)й.
Знак «минус» в этом выражении соответствует волне с отрицательной энергией. Физический смысл такой волны заключается в том, что при ее распространении высвобождается кинетическая энергия пучка. Рассмотрим этот процесс подробнее, основываясь на уравнениях Максвелла
V X Е = — <ЗВ/dt; yxH = J-(- dD/dt.
В отличие от подхода, использованного в гл. 4, будем считать электроны свободными частицами, движущимися в вакууме и дающими вклад в ток J. Тогда
у(ЕхН) = Н(у X Е) —Е(у X Н) = — HdB/dt — EdD/dt — EJ,
или
— V (E X H) = EJ + (d/dt) (1/2) (e0?2 + ц0Я2). (8.2)
Как видно, дивергенция вектора Умова — Пойнтинга расщепляется на две части; одна характеризует производную энергии поля в вакууме, а другая — скорость изменения кинетической энергии электронов. Вместе с тем энергия продольных волн определяется полученным ранее общим выражением
<№> = (8о/4) (d/da) (сое)ЕЕ*. (8.3)
Предположим, что волна, как и пучок, распространяется в положительном направлении оси х. В этом случае линеаризованные уравнения движения и непрерывности имеют вид:
dv/dt +Vbdv/dx — — (е/т) Е; (8.4)
— edn/dt + dJ/dx = 0, (8.5)
где 7=—e(Vbn + vN0)—-линеаризованный ток; N0 — невозмущенная плотность электронов и ионов в плазме; v и п — возмущения скорости и плотности электронов (влиянием волны на ионы пренебрегаем). Предполагая пространственно-временную зависимость вида exp [i(со/—kx)], находим связь между динамическими переменными
Ъ — —(т/е) i (со—kVb)v (8.6)
и
v = [(со — kVb)/kN0]n. (8.7)
57
Подставляя (8.6) и (8.1) в (8.3), учитывая при этом дисперсионное соотношение и используя выражение для плазменной частоты со2 = Ы^/ВоШ, получаем
<1Г> = (1/2) [ojiV0m/(oj — kVb)\ vv*, (8.8)
что можно переписать в виде
<№> = (1/2)mN0vv* + (1/2)т [NJiV ь/(а — kVь)\ w*,
или после подстановки (8.7) и симметризации
<1Г> = (1/2) mN0 uv*+ (1/4) mVb (vn* + nv*). (8.9)
