Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
Это и есть окончательное выражение для энергии продольных волн, записанное в комплексных переменных.
Нетрудно убедиться, что первое слагаемое в (8.9) соответствуег удвоенному значению энергии электрического поля в вакууме. Действительно,
(We') = (1/4) г0ЁЁ* = (1/4) е0 (m/е)2 (со — kV bf vv*, (8.10)
что с помощью дисперсионного соотношения сйр=(сй—k Vb)2 приводится к требуемому виду
(Wey = (1/4) mN0 vv*. (8.11)
Таким образом, можно записать
<r> = <^>+<rft>, (8.12)
где
== (1/4) mN0 то* + (1 /4) mVb {v п* + v*n) . (8.13)
Согласно (8.12) этой величине следует придать смысл кинетической энергии частиц, обусловленной наличием волны.
Переходя к вещественным величинам v= (1/2) (iv + г;*), п= (1/2) (п + п*), упростим (8.13):
(Wk) = (1/2) mN0v2 + mV bvn. (8.14)
Это есть не что иное, как та часть полной энергии частиц
WT = (1/2) т (N0 + п) (Vb + vf, (8.15)
которая имеется только при наличии волны и при усреднении по периоду колебаний не обращается в нуль. Второе слагаемое в (8.14) ответственно за возможность появления отрицательной энергии: при сдвиге фаз между п и v на я оно отрицательно, причем при достаточно больших Vb становится доминирующим.
Отметим в заключение, что из выражения EJ в (8.2) можно получить как производную по времени Wk, так и дивергенцию плотности потока кинетической энергии [1].
Эффекты высшего порядка
До сих пор мы ограничивались линейным приближением, предполагая, что величины изменяются по гармоническому закону, а скорость пучка Vb постоянна. В первом порядке по нелинейности
58
необходимо исходить из уравнения
dv/dt + Vbdv/dx + (е/т) Е = — vdv/dx, (8.16)
являющегося нелинейным аналогом уравнения (8.4). Подставляя в правую часть (8.16) линейное решение, видим, что dv/dt в первом лорядке по нелинейности приобретает компоненту, колеблющуюся с частотой 2со. Если теперь это решение снова подставить в правую часть (8.16), то появятся третья и четвертая гармоники (второй порядок по нелинейности) и т. д. При этом члены первого порядка пропорциональны kvv, члены второго порядка — (—k2vvv) и т. д. При взаимодействии нескольких волн, имеющих различные частоты, получим слагаемые вида —kikjvhvkivk„ где kj — волновое число волны /. Сумма таких слагаемых дает стационарный вклад в dv/dt:
— ^ kk'vk-k’vk-v^k,
знак которого противоположен знаку скорости дрейфа. В результате скорость дрейфа, а вместе с ней и запас кинетической энергии пучка могут уменьшаться. Это — один из возможных механизмов стабилизации взрывной неустойчивости, так как при уменьшении свободной энергии диэлектрические свойства среды изменяются таким образом, что коэффициенты связи перестают удовлетворять условиям, необходимым для развития неустойчивости. Уменьшение скорости пучка означает также, что плазменная система релаксирует к состоянию термодинамического равновесия.
Неконсервативные системы
Волны с отрицательной энергией, рассмотренные в настоящей главе, соответствуют вещественным корням дисперсионного уравнения е = 0. При учете линейного затухания или нарастания выражение (8.3) для энергии в общем случае утрачивает силу и может рассматриваться как приближенно верное лишь при достаточно малой мнимой части со. В работе [2] показано, что для плазменнопучковой волны с максимальным инкрементом разложение е в окрестности вещественной частоты вообще не является сходящимся. Тем не менее с помощью разложения в окрестности комплексного корня уравнения е = 0 [3] удалось установить, что такая волна имеет положительную энергию. Это вызвало дискуссию по проблеме устойчивости системы трех взаимодействующих волн [4—6]. В работе [2] обращается внимание на то, что знак энергии волны может сильно зависеть от характера возмущения (в частности, от того, возмущается первоначально амплитуда или фаза волны).
В работе [7] предложен более прямой метод определения энергии волны. Суммируя энергию поля и частиц в случае плазменнопучковой волны с комплексной частотой, можно показать, что в пренебрежении осциллирующими слагаемыми
59
TT = -^(l + —+-------------------------
4 I I 03 I* | Ы — kVb |2
1 +2Re- kV‘
kVh
E |a. (8.17>
Отсюда для волны с максимальным инкрементом получаем
W — (3/4) е0б | Ё |2, (8.18)
где б = (о)р*/2о)р) h 1 —малый параметр. Таким образом, эта волна имеет небольшую положительную энергию. Однако если рассматривать ее как суперпозицию нескольких волн (т. е. учитывать ширину полосы), то среди этих волн будут и волны с отрицательной энергией.
Задачи
