Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
299. W e у 1 H., Harmonics on homogeneous manifolds, Ann. of Math., 35, № 3, 1934, 486—499.
300. \V e у 1 H., Theorie der Darstellung kontinuierlicher halbeinfacher Gruppen durch lineare Transformationen, Math. Zeitschr. 23, 1925, 271—309; 24, 1925, 228—395 (частично переведено на русский язык, Успехи матем. наук 4, 1938, 201—246).
301. W i g п е г Е. P., On unitary representations of inhomogeneous Lorentz group, Ann. of Math. 40, № 1, 1939, 149—204.
302. Yamaguchi S., On certain zonal spherical functions, Mem. Fac. Sei. Kyushu Univ, Ser. A 17, № 2, 1963, 131—134.
303. Yoshizawa H., Group representations and spherical functions, Sugaku
12, 1960/61, 21—37.
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
Г лава I
Теория представлений групп линейными преобразованиями была создана Г. Фробениусом [55]. Бернсайд и И. Шур нашли существенно более простой подход, выдвинув на первый план саму матрицу представления вместо ее следа—фробениусовского характера. Инфинитезимальный подход к теории представлений развит Э. Картаном [69]. Изложение инфинитезималь-ной теории групп Ли дано в книгах Понтрягина [42], Хелгасона [56], Чеботарева [57], Шевалле [60], Эйзенхарта [61], Ковалевского [78].
Общая теория непрерывных групп была в основном создана Л. С. Пон-трягиным [42]. Инвариантное интегрирование на группах Ли ввел А. Гур-виц в 1897 г. для доказательства теорем об инвариантах. В 1924 г. И. Шур [290] применил этот процесс к представлениям компактных групп, в частности вещественной ортогональной группы. Существование инвариантной меры на произвольной локально компактной группе доказано А. Хаа-ром [252].
Индуцированные представления групп использовались в серии работ И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка [17]. Относительно общей теории см. Макки [277], Маутнер [280], Брюа [240].
Теория сферических функций на группах восходит к работе Э. Кар-тана [244], см. также Г. Вейль [299]. Дальнейшее развитие теории дано И. М. Гельфандом, М. А. Наймарком, Ф. А. Березиным [17], [105], [129],
Н. Я. Виленкиным [116], Р. Годманом [251], Хариш-Чандра [259], Маутнером [281], Иошидзава [303] и многими другими.
Изложенные здесь результаты получены в основном И. Шуром, Ф. Петером и Г. Вейлем. В работе Петера и Вейля [284] доказан основной результат о полноте системы неприводимых представлений компактной группы Ли. Для бесконечномерных представлений см. А. Гуревич [264]. В дальнейшем эти результаты были в той или иной мере перенесены на локально компактные группы; см. Рудин [90], Д. П. Желобенко [178], Макки [197, 198], Наймарк [204], Хариш-Чандра [257, 258], Маутнер [278]. Близким вопросам посвящены работы М. Г. Крейна [192, 193].
Дополнения к главе I. Относительно затронутых здесь вопросов см. книги И. М. Гельфанда, М. И. Граева и автора [14, 15], статью М. А. Наймарка и С. В. Фомина [209].
Г л а в а II
Теория тригонометрических рядов восходит к Д. Бернулли и Л. Эйлеру. Эти ряды систематически применялись Ж. Фурье и О. Коши в 20-х годах XIX века для решения задач математической физики. Относительно современной теории тригонометрических рядов см. Н. К. Бари «Тригонометрические ряды» и А. Зигмунд «Тригонометрические ряды», т. 1, 2. Теория интеграла Фурье изложена в книгах Бохнера [5], Титчмарша [50].
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
577
Преобразование Фурье в комплексной области впервые было детально изучено Винером и Пэли [12]. Приведенное в книге доказательство формулы обращения для преобразования Фурье принадлежит И. М. Гельфанду [132],
С точки зрения теории групп теория тригонометрических рядов и интегралов является частным случаем теории характеров коммутативных локально компактных групп, построенной Л. С. Понтрягиным [42],
Глава III
Функции Рп (л:) были введены почти одновременно Лежандром и Лапласом в связи с изучением притяжения сфероидов, Они явились первым примером ортогональных многочленов. Обобщением функций Рп (л:) являются многочлены Якоби Р'?' Относительно общей теории ортогональных
многочленов см. Джексон [22], Сеге [46], Библиографию по этим многочленам см. [92].
Классическая теория функций Лежандра изложена в книгах Гобсона [19], Уиттекера и Ватсона [53], Лензе [79], Робэна [89], Вангерина [97, 98]. Эти функции широко применяются в классической и квантовой физике. Изучение оператора момента количества движения в квантовой механике привело к выяснению связи между многочленами Лежандра и Якоби, с одной стороны, и представлениями группы вращений трехмерного евклидова пространства — с другой. Эти вопросы изложены в книгах Багавантама и Венкатарайуду [2], Бауэра [3], Беймана [4], Ван дер Вердена [7], Вигнера [11], Ландау и Лифшица [30], Любарского [33], Хейне, Волкера [58], Хаммермеша [72], Кагана [74], Рака [87], Вейля [99] и др.
Систематическое построение теории многочленов Лежандра на базе теории представлений групп дано Гельфандом и Шапиро [155]; см. также Гельфанд, Минлос и Шапиро [16]. В этих работах введены и детально изучены функции Р1тп (*), близкие к многочленам Якоби, но несколько отличающиеся от них. Результаты пп. 1 и 2 § 5 принадлежат автору [115, 117].
