Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Связь между теорией представлений групп и многочленами Гегеиба-уэра была установлена Картаном [244]. Относительно классической теории
э 1 их многочленов см. Сеге [46].
Глава X
Представления группы гиперболических вращений я-мерного пространства и связанные с ними специальные функции независимо были изучены автором [114, 119, 121] и Такахаши [292]; см. также Хираи [262].
В четырехмерном случае эти представления полностью описаны Гельфандом и Наймарком [144, 16, 39, 201]. В ряде работ изучались эти представления, их матричные элементы и связанные с ними интегральные преобразования (см., например, Голодец [162], Долгинов, Топтыгин, Москалев [169—171], Желобенко [173, 174], Левинсон и Юцис [196], Попов [218], Ромм [220, 221], Шапиро [226], [226а], Эскин [228], Такахаши [291], Тамм [294].
Метод орисфер для разложения представлений на неприводимые разработан Гельфандом и Граевым [141, 142]. Вывод интегрального преобразования Фока—Мелера на основе метода орисфер дан автором [119, 121]. Можно показать, что и другие интегральные преобразования (Конторовича — Лебедева, Олевского [214] и др.) также получаются этим методом. Для четырехмерного случая это сделано в работе автора и Смородинского [127]. Полис-феричсские и орисферические функции на гиперболоиде введены автором [124]. В трехмерном случае различные ортогональные системы координат, в которых оператор Лапласа допускает разделение переменных, изучены Олевским [215].
Глава XI
Изучение свойств бесселевых функций в связи с теорией представлений группы движений я-мерного евклидова пространства проведено автором [114, 121] и независимо от него Орихара [283]. Ито [266] описал все неприводимые унитарные представления этой группы. В работе Герца [261] изучаются функции Бесселя матричного аргумента. Относительно теории многочленов Эрмита см. Сеге [46].
УКАЗАТЕЛЬ ВАЖНЕЙШИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Буквы латинские
A (g) — представление группы МН (2) 253
А* — оператор эрмитово-сопряженный оператору А 28 (Л) — матрица оператора А 25 As, Д3 — инфинит раторы 147, 148 А ® В— кронекеровское произведение операторов 76 a(m — символическая степень 194 [а, Ь\ — коммутатор матриц а и b 37 В -*А —скрещенное (полупрямое) произведение групп В и А 203 С (1, j) = С (/„ /3, /; j, k, т) — коэффициенты Клебша—Гордана 184 Ср (t) — многочлены Гегенбауэра 452 Е— тождественный оператор в И 23 Еа— трехмерное евклидово пространство 114
Еп — я-мерное евклидово пространство 430
е — единичный элемент группы G 23 F(а, р, i; г) — гипергеометрическая функция 345 fi *f»(g)— свертка функций (g) и
Ш 68
f;-(g)hft, alm — базисы в пространстве
•5>i(g)?2 183 g (а, Ь, а) — элемент группы М (2)
202
g (flj, а2, <р) — движение псевдоевклидовой плоскости 253 g(tp, 0, ()/) — матрица вращения 114 gx—образ элемента х при отображении g 38 gfk(a)—вращение на угол а в плоскости (xj, xk) 433 g' — транспонированная матрица g 56 Hf(x) — гармоническая проекция од-, нородного многочлена 440 Н( (х) — многочлены Эрмита 555
Н<'\ //'2* — функции Г анкеля первого и второго рода 262 Н+, Н_— линейные комбинации инфинитезимальных операторов 119 НН1™, Н13т 149 Эб (•§!, ¦бг) — тензорные произведения гильбертовых пространств 74 /„ (х) — п-я функция Бесселя 211 (г) — функция Макдональда 262 L (g), R(g) — регулярные представления групп 283, 332, 435 (х) — многочлены Лагерра 426
h h U \ — символ Вигнера 189 т1 т2 mj
1. i. m — предел в среднем 97 М (2) — группа движений евклидовой плоскости 201 М (2, С) — комплексификация группы М (2) 206
М (п) — группа движений я-мерного евклидова пространства 543 МН (2) — группа движений псейдоев-клидовой плоскости 253 МЬ Лг)> „ (г) — функции Уиттекера 397 ДГ, (г) — функция Неймана 270 Р(\' (г) — многочлены Якоби 133
Pi(z)—многочлены Лежандра 133 РР (г) — присоединенные функции Лежандра 133 Plnnl*)- 128
Ох (g) -представление группы МН (2) 258
QU(2) — группа квазиунитарных унимодулярных матриц второго порядка 288 R— аддитивная группа вещественных чисел 81
R ig) — регулярное представление группы SO (2) 88
УКАЗАТЕЛЬ ВАЖНЕЙШИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 581
— л-мерное линейное пространство 98
Ri т(и) — представление SU (2) 148 Sn~l — единичная сфера в Еп 430 Sn°—представление группы SH (п) 504
SH (я) — группа гиперболических вращений я-мерного пространства 84,
289, 500 sign а — знак числа а 49
SI. (2, С) — комплексификация группы SU(2) 111 SO (2, С) — комплексная форма группы SO (2) 86 SO (я) — группа вращений я-мерного евклидова пространства 81, 112, 430
SU (2)'—группа унитарных унимодулярных матриц второго порядка 106
T(g), Tt(g), TR(g), Тг(ш),
R^ig)— представления групп 118,
206, 227, 257, 295, 401, 404, 545 Т (g) — представление сопряженное представлению Т (g) 27 Т* (g) — представление, эрмитово-соп-ряженное представлению T(g)2H Tnl (g) — неприводимые представления SO (я) 436 Тп(х)¦—многочлен Чебышева первого рода 141 T(g)®Q (g) ¦— кронекеровское произведение представлений 33 ТгД'—след матрицы 34