Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Коэффициенты Клебша — Гордана применяются для решения задач спектроскопии; см. Юцис, Левинсон и Ванагас [63] и упомянутые выше книги. Данный здесь вывод свойств этих коэффициентов принадлежит в основном автору.
Г лава IV
Функция /0 (л:) рассматривалась в 1738 году Даниилом Бернулли, а функции Jn(x) с целыми значениями п—в 1764 году Эйлером. Подробно изучены Бесселем в 1824 году. Относительно классической теории бесселевых функций см. Ватсон [8], Грей и Метьюз [21], справочник «Высшие трансцендентные функции» [73], Нильсен [83]. Приложения к задачам математической физики изложены в книгах Коренева [27], Лебедева [31], Морса и Фешбаха [36], Уфлянда [54].
Построение некоторых разделов теории бесселевых функций на основе теории представлений группы движений евклидовой плоскости проведено автором [ИЗ]. См. также Миллер [81], Константинова и Соколик [190], Инону и Вигнер [265]. Представления универсальной накрывающей группы для М (2) изучены Тома [297]. Обобщение на ^-адический случай см. Саито [289].
Глава V
Представления группы линейных преобразований прямой линии изучены Гельфандом и Наймарком [145]; см. также Кохари [267]. Функции Г(лг) и В (х, у) введены Эйлером. Данное здесь изложение теории этих
578
примечания и литературные указания
функций принадлежит автору. Различные обобщения Г-функции рассматривались Годманом [160], Гельфандом и Граевым [143], Гиндикиным [158].
Классическая теория функций Макдональда и Ганкеля изложена в упоминавшемся трактате Ватсона [8]. Изучение этих функций на основе теории представлений группы движений псевдоевклидовой плоскости проведено автором. Некоторые результаты (теорема сложения) независимо от него получены В. С. Рыко. Возможно, некоторые из приведенных здесь формул являются новыми.
Глава VI
Группа вещественных унимодулярных матриц второго порядка (или, что то же, группа квазиунитарных матриц второго порядка) была первой некомпактной некоммутативной группой, теория представлений которой детально изучалась (Баргман [236]). Интерес к представлениям этой группы и тесно связанной с ней группы унимодулярных комплексных матриц второго порядка вызван ролыо этих групп в физике (они изоморфны соответственно трехмерной и четырехмерной группам Лоренца). Представления группы комплексных матриц второго порядка впервые изучены Гельфандом и Наймарком [144]. Полученные здесь результаты послужили основой изучения представлений полупростых групп (Гельфанд и Наймарк [17, 147], Гельфанд и Граев [135,
136, 137, 138], Березин [ЮЗ, 104], Желобенко [176, 177], Эренпрайс и Маутнер [249], Хариш-Чандра [253—259] и др.). Многие результаты гармонического анализа на группах впервые были получены на группах второго порядка, причем еще не все они перенесены на более общий случай (Богаевский [109], Гельфанд и Фомин [152], Желобенко [172—174), Наймарк [201, 203, 207], Ромм [220, 221], Кунце и Стейн [269, 270], Пуканский [285, 287]).
В этой главе изложение следует в основном Баргману. Многие вопросы изложены по книге Гельфанда, Граева и автора [15], глава 7. Относительно других выводов формулы Планшереля на группе SL (2, R) см. Гельфанд и Граев [136], Пуканский [287].
Глава VII
Гипергеометрическая функция была введена Гауссом. Относительно классической теории этой функции см. Кратцер и Франц [28], «Высшие трансцендентные функции», т. 1 [73], Клейн [77]. Данное здесь изложение теории принадлежит автору [122, 123], Многие формулы этой главы являются новыми.
Глава VIII
Относительно теории вырожденных гипергеометрических функций и тесно связанных с ними функций Уиттекера см. Кратцер и Франц [28], Уиттекер и Ватсон [53], Бейли [66], Бухгольц [68], «Высшие трансцендентные функции», т, 1 [73], Трикоми [94]. Теория представлений группы треугольных матриц третьего порядка является частным случаем общей теории представлений разрешимых и нильпотентных групп Ли (см. Кириллов [188], Диксмье [167, 248]).
Связь теории функций Уиттекера с теорией представлений группы треугольных матриц установлена автором [125]; см, также Миллер [81]. Многие формулы этой главы являются новыми.
Глава IX
В работах Шура [290], Картана [242, 243], Вейля [300] и Брауера [238] получена классификация представлений ортогональной группы и вычислены характеры этих представлений. Относительно этих результатов см. также
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
579
Мурнаган [37] и [82], Вейль [10], Гельфанд и Цетлин [154] вычислили матричные элементы неприводимых инфинитезимальных представлений этой группы. Выражение матричных элементов представлений в параметрах Эйлера получено автором [114, 121] и Ламбиной [195],
Теория сферических функций в я-мерном случае изложена в книгах Аппеля и Кампе де Ферье [65] и Нильсена [85]. В книге «Высшие трансцендентные функции», т. 2 [73] эта теория по сути дела излагается на основе теории представлений. Данная в нашей книге реализация представлений принадлежит автору, равно как и теория полисферических функций. См. также Кириллов [186].
