Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Вклад этого поля в ускорение d\ldt задается с помощью (9.5.3) следующим образом:
TJ = VX (Vxg) = 6Gh (X-J0) г"5 + 2G (vx Js) г"3. (9.5.19)
Тогда, согласно формуле (9.5.12), можно утверждать, что это приводит к изменению А со скоростью, равной
¦§-=~6Gh (v-x)(x.JQ) г« —
-2G (v X J0) (x-v) г"3 - 2Gv (h-J0) г*. (9.5.20)
Проведем для простоты ось вращения Солнца перпендикулярно плоскости планетных орбит — тогда J0 будет параллельным h. Подставляя (9.5.20) и (9.5.6) — (9.5.10) в (9.5.11), получаем следующее выражение для скорости прецессии: 2/^ft2
-it = tra7(-(1+6008 (ф-фо)]2"іп2(ф-фо)~
с)
- [1 + Є COS (ф - ф0)]3 [Є + cos (ф - Фо)]}. (9.5.21)
Тогда (9.5.16) дает следующее выражение для прецессии за один оборот:
— 8л JrJi
А(Р»= IsrJ- (9.5.22)
ii) § 6. Прецессия движущегося по орбите гироскопа 251
Принято считать, что Солнце имеет угловой момент Jq «1,7 х X IO48 T-CM2-C"1, масса его Mq = 1,99-IO33 г. Тогда в наших естественных единицах, в которых 1 с = 3 -10м см, находим
^«0,28 км.
Далее, орбита Меркурия имеет L = 55,3 -IO6 км и h = 9,03 -IO3 км, поэтому поле g дает в прецессию перигелия Меркурия вклад, равный (в единицах рад/об)
Дф « —2,06 -10"11,
или в более удобных единицах (угловая секунда за столетие)
Аф0 «-17,6 -10"4.
Если даже Дикке и Голденберг правы и Солнце имеет угловой момент, в 25 раз больший, то прецессия, вызванная полем составляет примерно лишь 0,04" за столетие, что слишком мало для того, чтобы быть замеченным.
Полезно еще раз подчеркнуть, что вычисленная полная прецессия должна представлять собой сумму следующих слагаемых: 1) ньютоновский член, равный 532" за столетие; 2) эйнштейновский член, задаваемый формулой (9.5.17); 3) член (9.5.22), обусловленный 4) ньютоновский член, возникающий из-за точно неизвестной несферичности Солнца; 5) член, появляющийся из-за вклада вращения Солнца в анизотропную часть ф; 6) член, обусловленный постньютоновскими поправками к возмущению, вызываемому другими планетами. При этом только ньютоновские члены и эйнштейновский член (9.5.17) достаточно велики, чтобы их можно было измерить.
§ 6. Прецессия движущегося по орбите гироскопа
В § 1 гл. 5 правило параллельного переноса указывало на го, что спин sm, свободно падающей частицы прецессирует, т. е.
dS,, і JrV
^ = iVHF- (9.6.1)
Несколько лет назад Пью [2] и Шифф [3] предложили поместить гироскоп на околоземную орбиту и исследовать прецессию его вектора спина для выявления тонкой структуры гравитационного поля Земли. Шифф применил метод вычислений, предложенный Папапетроу 14, 5] и Фоком [6], согласно которому сперва рассматривается движение протяженного вращающегося тела, а затем размеры тела устремляются к нулю. Мы вместо этого с самого начала будем считать гироскоп точечной частицей, поскольку 2
Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
именно для такой частицы верно утверждение принципа эквивалентности, что существует локально-инерциальная система отсчета, в которой прецессия спина отсутствует. Поэтому уравнение (9.6.1) можно рассматривать как обобщение этого факта на случай произвольной системы координат.
Clxvt
4-вектор спина S^ по определению ортогонален скорости :
^ = 0
[си. (5.1.9)]; иначе говоря,
S0 = — ViSi. (9.6.2)
Положим в (9.6.1) (X = і, умножим это соотношение на dx/dt и с помощью формулы (9.6.2) исключим Oq^ в результате получим
= TiloSj - T0i0ViSj + TiikVkSj- T0ikVkViSj. (9.6.3)
Псстньютоновское приближение позволяет оценить коэффициенты при Sj в правой части (9.6.3) до членов порядка vs/r:
JO 3. 2 2.
« [Fi0 - ^V' -f" T3ikVh] Sj. (9.6.4)
і
(Последний член здесь опущен поскольку все компоненты r°h равны нулю.) Компоненты аффинной связности определяются выражениями (9.1.69), (9.1.70) и (9.1.72). Подставив их, получим
-S(v-Vf) + v(S.Vf). (9.6.5)
Чтобы решить уравнение (9.6.5), используем тот факт, что прг: параллельном переносе величина SllSil сохраняется [см. (5.1.10)1, т. е, справедливо соотношение
= (9.6.6)
Из уравнения (9.6.4) видно, что скорость изменения S должна быть порядка S-y3/r, а потому необходимо сохранять только те члены В — Tj^v, скорости изменения которых сравнимы в системе координат частицы, движущейся со скоростью и, т. е. только такие члены, градиенты которых имеют порядок (V2Ir). Следовательно, в уравнении (9.6.5) тензор можно заменить
на г]-f- gv\\ Далее, величина (S0)2 порядка V2 по отношению
2
к S'2, поэтому нет необходимости удерживать член g00. Таким образом, с заданной точностью будем считать, что уравнение (9.6.5) имеет следующий интеграт:
S2 + 2*S2 - (v-S)2 = const. (9.6.7) § 6. Прецессия движущегося по орбите гироскопа 253
Это наводит на мысль ввести новый вектор спина определяя его таким образом:
S = (l — ф) аР + yv(v-(5c). (9.6.8)
Тогда с учетом членов порядка V2S2 выражение (9.6.8) приводит к условию
= const. (9.6.9)
В этом же приближении соотношение (9.6.8) можно обратить и оно запишется так:
Jc = (1 + 6) S-i- v(vS). (9.6.10)
