Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Довольно расплывчатые идеи такого сорта, вытекающие из принципа Маха, нашли свое конкретное выражение в подробных вычислениях, основанных на принципе эквивалентности. Выражение (9.6.19) указывало на то, что прецессия вращающегося на орбите гироскопа, а следовательно, и вращение связанной с ним инерциальной системы слагаются из малого «геодезического» члена, параллельного орбитальному угловому моменту h, и столь же малого «сверхтонкого» члена, параллельного той компоненте спина Земли Jffi, который перпендикулярен h. Таким образом оказывается, что вращение и кажущееся обращение Земли вокруг гироскопа в какой-то мере воздействуют на инерциальную систему, падающую вместе с гироскопом.
Этот эффект легче понять, проделав мысленный эксперимент, обсуждавшийся Лензе и Тиррингом [13, 14] вскоре после создания§ 7. Прецессия спина и принцип Маха
259
общей теории относительности. Они рассмотрели полую сферическую оболочку, вращающуюся как целое с угловой скоростью <й. Согласно уравнению (9.4.35), метрика поля ? внутри сферы определяется следующим образом:
I = X X й,
где
Q=-4^,
а ф — постоянный гравитационный потенциал внутри сферы, равный
ф=~ AnG j T00 (r') г' dr'.
оболочка
Формула (9.6.12) показывает, что любая инерциальная система внутри сферы вращается с угловой скоростью Q.
Заметим, что fl параллельно о), но по величине меньше его за счет безразмерного множителя —Аф/3. Поэтому интересно посмотреть, что же будет, если оболочку сделать настолько массивной, чтобы величина ф приблизилась к значению —3/4. Исчезнет ли связь инерциальных систем внутри оболочки с удаленными звездами и будут ли они следовать за вращением оболочки с частотой о)? [Прислушаемся к отзвуку того далекого замечания Маха об эксперименте Ньютона с ведром воды, о котором говорилось в § 3 гл. 1: «Никто не может с уверенностью сказать, каков был бы результат эксперимента, если бы толщина (а также масса стенок сосуда) возрастала до тех пор, пока не заняла бы несколько лиг» *).] К сожалению, постньютоновский метод перестает работать как раз тогда, когда эта проблема становится интересной, т. е. когда | ф | становится порядка единицы. Точное решение уравнений Эйнштейна, которое выглядит подобно метрике пространства вне вращающейся сферы, было найдено Керром [15]; оно имеет вид
X [P2X- dx + P dx-(а х х) + (a. х) (a. dx) + (р2 + а2) р dt]2.
Здесь X — квазиевклидов 3-вектор; а — некоторый постоянный вектор; скалярные произведения х-а, х2 и т. д. определены так же, как и в евклидовой геометрии, а р задано следующим образом:
р4 _(Г2 _а2) р2 _(а.х)2 = О,
*) Лига — мера длины, равная 4,83 км.
17*260
Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
где, как обычно, г2 == х2. При г оо имеем р -> г, и метрические коэффициенты принимают вид
. . 2 MG . ~ / 1 \ ^oo—14-----I-O (-JT) ,
goi-+-^-pr-{xt + y (ax*)i} + 0 (рг) .
s , 2 MG . п / 1 \ gii-*-&U+ -^-XiX) + 0 •
Непосредственное вычисление с использованием выражений (7.6.22) — (7.6.24) показывает, что полные импульс, энергия и угловой момент системы вместе с ее гравитационным полем имеют вид
P = O, P0 = М, J= Ma.
К сожалению, все еще не удалось показать, что это точное внешнее решение плавно переходит в точное решение для внутрепней области вращающейся сферы. Недавно Брилл и Коэн [16] нашли такое решение для очень тонкой вращающейся сферической оболочки радиусом R, которое справедливо в низшем порядке по частоте вращения со как внутри, так и вне ее, но справедливо во всех порядках по массе оболочки М, а также удовлетворяет корректным условиям непрерывности при пересечении поверхности оболочки. Это решение имеет вид
— di2=-H (г) dt2 + J (г) [,dr2 + г2 dQ2 + г2 sin2 0 (dcp — Q (г) dt)2], где
( 1 — 2MG/r \2
я (г) = J * 1 + 2MG/r ' ' г>л'
1 /1 IMGjR \ 2 \i-\-2MGIRI ' (1 + 2 MG/r)4, r>?, (1+2 MG/Rf, r<R. Внутри сферы угловая скорость ?2 (г) постоянна и равна „ Г. . 3 (R — 2MG) -1-і . _
q^c0L1 + WG (1 + р) J ' Г<І?>
где ? — безразмерная константа, зависящая от относительных вкладов Г13 и T00 в гравитационную массу оболочки. Если мы определим новые координаты
t'= VTTt, г'= /7r <р' = ф —Qf,
то придем к инерциальной системе координат вне сферы. Тогда J2 есть частота вращения (в единицах t) инерциальной системы
7(г) = {§ 8. Постнъютоновская гидродинамика
261
внутри оболочки относительно системы Минковского на бесконечности. Когда величины MG и ? малы, то Q/со близко к значению постньютоновского приближения AMG/3R; если же MG настолько велико, что шварцптильдовский радиус оболочки 2MG примерно тот же, что и радиус оболочки R, отношение Q/со приближается к единице, как, возможно, и предполагал Мах.
§ 8. Постньютоновская гидродинамика*
Постньютоновская программа, очерченная в § 1 —3 этой главы, могла бы служить надежной основой для релятивистской небесной механики, если бы можно было рассматривать Солнце и планеты как точечные частицы. Однако это не соответствует действительности; например, приливные силы на Луне, связанные с ее конечными размерами, намного больше, чем постньютоновские поправки к гравитационному полю Земли. Часто такие эффекты, связанные с конечными размерами, можно достаточно точно вычислить, если считать, что астрономические тела состоят из идеальной жидкости [17—19] *). Тогда тензор энергии-импульса, задаваемый выражением (5.4.2), равен