Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы вычислить скорость изменения <5° с учетом членов порядка (v3/r) S, нужно рассматривать S как константу везде, где оно появляется с коэффициентами порядка v и положить dv/dt лі—Уф:
подставив сюда (9.6.5), найдем с учетом членов порядка
(ViIr) tf
где
^ = AxJp, (9.6.11)
й = -yV X S--Jvx Уф. (9.6.12)
Уравнение (9.6.11) показывает, что вектор tf, оставаясь неизменным по величине, лишь прецессирует со скоростью I ?2 I вокруг направления вектора &.
Какое отношение имеет это все к прецессии гироскопа в свободном падении? Ответ, как всегда, следует искать, обращаясь к методу, реально используемому для измерения эффекта. В данном случае направление спина гироскопа контролируют, измеряя в инерциалъной системе, связанной с гироскопом, углы О между спином гироскопа Sg в этой системе и векторами скорости Ug световых лучей, идущих от одной или нескольких удаленных звезд:
С08Є = ^-ШГЇЇ7Р (9.6.13)
(Этот угол можно измерить, фокусируя изображение звезды на систему фотоэлементов, так что изменение угла 0 приведет к перемещению изображения вдоль системы, вызывая тем самым изменение фототока.) В инерциальной системе, связанной с гироско- 254
Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
пом, световые лучи движутся с единичной скоростью
I Ug I = 1,
временные компоненты Sgll исчезают [см. (9.6.2)]:
Sgo = О,
а вектор Sg сохраняет свою величину:
I Sg I = (S„S»)W. Тогда измеряемый угол 0 можно выразить в виде
COS0 =-П-. (9.6.14)
OVli )1/2 v '
Поскольку эта величина является инвариантом, нет больше необходимости ограничивать себя довольно неудобной инерциальной системой координат, связанной с гироскопом, а можно задавать 4-векторы спина sm, и скорости света Ittj- в любой удобной системе координат, например в системе отсчета, связанной с Землей. В такой системе 4-вектор скорости светового луча, идущего от звезды, равен
Ui = Uoa + S Ui, u°=l + ou°,
где и,» — фиксированный единичный вектор, задающий скорость света на больших расстояниях от Земли, a Suij- — поправки порядка McT.GIr ~v2 к скорости и направлению световых лучей, возникающие из-за гравитационного поля Земли. С учетом членов порядка р2 выражения (9.6.10) и (9.6.2) дают следующий результат:
Si = +Iyi (v^)-fOp),
S0= -ytf + 0{v).
Таким образом, соотношение (9.6.14) приводит к следующему выражению для измеряемого угла 0:
cos0~ ??-^u00- V + Su-^u00 +YV(V-U00)J , (9.6.15)
где & = <ST/\ Член —V соответствует аберрации света звезд — важному эффекту, известному еще с XVIII в., который, конечно, должен быть учтен. Кроме этого члена, очевидно, что cos 0 меняется также со временем, поскольку Su, ф и v изменяются при вращении гироскопа вокруг Земли, а также из-за того, что & прецессирует с угловой частотой Q. В действительности, кроме § 6. Прецессия движущегося по орбите гироскопа
255
аберрации, остальные вклады в изменение значения cos 0, возникающие из-за варьирования при одном обороте величин би, ф, Viif1 имеют порядок v" [см. выражения (8.5.8) и (9.6.12)]. Поэтому, чтобы измерить прецессию величины tf при одном обороте гироскопа, необходимо измерять 0 с точностью до IO"10 рад, но даже и в этом случае для того, чтобы интерпретировать результат как проявление спиновой прецессии, мы должны будем в (9.6.15) отделить его от эффекта отклонения света би и других вкладов. К счастью, прецессия спина имеет одно свойство, позволяющее отделить ее от всех других эффектов, — это ее кумуля-
тивностъ. При большом числе оборотов N направление спина
—2
изменится на величину порядка Nv , в то время как вклады от би, ф, V (V-U00) будут по-прежнему иметь порядок V2; поэтому с учетом аберрации изменение 0 хорошо аппроксимируется изменением лишь величины т. е.
A (cos0) ж U00-A^. (9.6.16)
Поэтому мы можем утверждать, что прецессия & вектора *f является непосредственно измеряемым эффектом: нужно лишь набраться терпения и дождаться, пока гироскоп совершит достаточно большое число оборотов вокруг Земли.
Вернемся теперь к вопросу о вычислении вектора &: если рассматривать Землю как сферу, которая вращается, но не перемещается, то с помощью формул (9.4.34) и (9.4.22) поля ? и ф можно записать в виде
GMe 2G. т ч
Ф =--?="йг(хх je).
Тогда частота прецессии (9.6.12) равна
ZGM (х х V)
Q = 3Gx (х- Je) г"» - GJffiI-' +-®±-L. (9.6.17)
Последний член в этом выражении, зависящий только от массы Земли, но не от ее спина, называется геодезической прецессией [7—9]; это в основном томасова прецессия, вызываемая гравитацией (§ 1 гл. 5). Первые два члена в (9.6.17) соответствуют взаимодействию между спиновым и орбитальным угловыми моментами гироскопа и Земли, подобно сверхтонкому взаимодействию в атомной физике. Если для простоты считать орбиту гироскопа окружностью радиусом г, единичная нормаль к которой есть h, то скорость гироскопа равна
,AZffiGvV2,
v=-(-ti4 (xxh). (9-6-18> 256
Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
а средняя за один оборот частота прецессии вычисляется по формуле
(JA—h(h-Jn))G о ... h
