Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Б. Использовать результаты А и уравнения (9.3.8) — (9.3.11)
0 2 1. 2..
для вычисления компонент T00, T00, Т%0, Tlj тензора энергии-импульса.
B. Использовать результаты А, Б и уравнения (9.1.62), (9.1.65) и вычислить постньютоновские ПОЛЯ ? И 1р.
Г. Применить результаты А, В и уравнение (9.2.1) для вычисления постньютоновских поправок к траекториям хп (t). Д. Повторить ту же процедуру с новыми решениями и т. д
16* 244
Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
§ 4. Мультипольные поля
В качестве первого примера вычислим гравитационное поле на больших расстояниях от создающего его источника — произвольного конечного распределения энергии и импульса. Пусть T^v (х, t) исчезает при г > R, где г = | х |. Знаменатель I X — х' I в выражениях (9.1.59), (9.1.62) и (9.1.65) можно разложить по обратным степеням величины r/R:
. (9.4.1)
Тогда можно показать, что
о о
где
+ (9.4.2)
+ (9.4.3)
2 2
GM Gx-D , ~ / 1 \ /п / /ч
--;---нГ- + 0(тг). (9.4.4)
M=j Г00 d3x, (9.4.5)
D = j хГ00 (2?, (9.4.6)
Pi=JriOrf3X, (9.4.7)
Jij = I j XiTio d3x, (9.4.8)
M =J (T°° + Tu) d3X, (9.4.9)
D-jx(f»о + ^ + (9.4Л0)
2
[Член д^ф/дЬ2 не дает вклада в М, поскольку он равен —V4V •(dZ,ldt) и, следовательно, исчезает при интегрировании.]
Поле г|) проявляется физически только за счет присутствия его в разложении g00:
goo= — 1 — 2ф — 2гр — 2ф2 -(- О (у6).
Очевидно, что поле г|) можно учесть, просто заменяя везде ф на ф + ф. Иначе говоря, оставаясь в рамках точности, требуемой § 4. Mулътиполъные поля
245
постныотоновским приближением, можно написать
ёоо=-1-2(ф + ^)-2(ф + ^ + 0(и15). (9.4.11)
Выражения (9.4.2) и (9.4.4) позволяют представить имеющее физический смысл поле ф + ф в виде
* + ^-^ + 0(?). (9-4.12)
где
М = М + М, D = D + D. (9.4.13)
Поскольку величина D не описывает важного физического явления, а скорее есть просто смещение всего поля, выражение (9.4.12) можно переписать в виде
+ (9.4.14)
Мы можем исключить член с D, определяя систему координат как систему центра энергии. В отличие от члена с D, члены порядка 1/г и 1 /г2 в разложении (9.4.3) величины ? представляют большой физический интерес.
Выведем ряд полезных свойств моментов от тензора Tm-Vj используя сохранение энергии и импульса. Из уравнения сохранения массы (9.3.2) следует, что в общем случае справедливы уравнения
о
Ш =0, (9.4.15)
dt
О . dT) 1
-^T = P. (9.4.16)
Если тензор энергии-импульса не зависит от времени, то (9.3.2) записывается в виде
д
ittT110 = O, дхг '
и, следовательно, интегрируя по частям, мы получим
і і
О
= \ Xi-^i TiOd3X=-Pi, (9.4.17)
0 = 2 j XiXi-ThOdpx^ (9.4.18)
і
Гот факт, что у статической системы Р = 0, едва ли удивителен. Антисимметричность же Jtj не столь очевидна. Запишем Jij в виде
Jij = SijJk, (9.4.19) 246
Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
1
гДе Jk — вектор углового момента:
Jh == ± EiJii = j CLHzijhXiT50. (9.4.20)
Подставляя (9.4.17) и (9.4.19) в (9.4.3), получаем
Б-> ^J- (xxJ) +О(-рг). (9-4.21)
Наши результаты (9.4.14) и (9.4.21) для ф + гр и вообще говоря, установлены только вдали от притягивающей массы. Однако они также справедливы вплоть до поверхности сферического распределения энергии и импульса. Допустим сперва, что T^v (х, t) зависит от положения х только через радиус г = | х |. Тогда в выражениях (9.1.59), (9.1.62) и (9.1.65) множитель I X — х' I _1 можно усреднить по углам. Для г > г' имеем
1 Г dQ _ 1 Г _ sin 0 dB 1
4я J I х-х' I 2 J |г2.
О
[г2 — 2rr' cos64-r'2]1/2 г
Следовательно, везде вне сферы
о
ф=---~, (9.4.22)
і
E=-4 G^r, (9.4.23)
2
(9.4.24)
і
Если сфера покоится, то P = 0; в этом случае (9.1.57), (9.1.60), (9.1.61), (9.1.63) и (9.4.13) приводят к следующей метрике:
. . 2MG гмю* .„ . ос.
goo 1 H ----—, (9.4.25)
gio « о, (9.4.26)
+ (9.4.27)
Этот результат согласуется с точным решением Шварцшильда, задаваемым в гармонических координатах выражением (8.2.15):
goo— i + MG/r '
Яго = 0,
/. MG \ 2 / MG \ 2 l + MG/r I хіхі \
Однако в этих двух выводах есть существенное различие, а именно: в то время как точное решение Шварцшильда, найденное § 4. Mультиполъные поля
2А1
в § 2 гл. 7, справедливо для статической сферически-симметричной системы, постньютоновское решение применимо к системе, изменяющейся за время порядка r/v. В § 7 гл. И будет показано, что в действительности решение Шварцшильда справедливо вне любой сферически-симметричной системы, как статической, так и нестатической.
Рассмотрим теперь сферически-симметричную систему, которая не перемещается, но вращается с угловой частотой со (г). Плотность импульса записывается в этом случае так:
Tio (х', t) = T00 (r') [со (r') X х'Ь- (9.4.28)
Тогда уравнение (9.1.62) задает поле ? следующим образом:
? (х) = - AG [ ^2**'1 ^00 (О (9.4.29)
Интеграл по телесному углу
для г'Cr, (9.4.30)
P dQ'x'
J I X-X'I
x для г' > г. (9.4.31)
