Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, поле вне сферы имеет вид
? (X) = [х X J (О (r') 71°00 (г') г'4 dr'] . (9.4.32)
Интеграл можно выразить через угловой момент, определяемый с помощью (9.4.20) и (9.4.28), следующим образом:
J = J (х' X [со (r') X х']) T00 (r') =
= j [г'2(0 (г')-х' (х'.<й(г'))]Го° (r') d3x' =
= "Г" J ю ^00 r'4 dr>' (9.4.33)
Итак, выражение (9.4.32) везде вне сферы равно
E(X)=-^(XXJ)1 (9.4.34)
что согласуется с общей асимптотической формулой (9.4.21). Поле внутри полой вращающейся сферы задается выражениями (9.4.29) и (9.4.31) в виде
E (х) = x X U, (9.4.35)
і де
?2 = j со (г') Г00 (r') г' dr'. (9.4.36)
В § 7 гл. 9 мы обсудим связь этого результата с принципом Маха. 248
Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
§ 5. Прецессия перигелия
Мы увидим сейчас, как постньютоновский формализм, развитый в последних четырех параграфах, можно использовать для вычисления прецессии планетарных орбит в реальной Солнечной системе, т. е. с учетом существования других планет, вращения Солнца, его несферичности и т. д. В потенциале ф + гр, определяющем ^r00 [см. выражение (9.4.11)], подавляюще большую часть составляет сферически-симметричный вклад от Солнца —GMq/г и поэтому потенциал ф + гр удобно записать в виде
GMr,
Ф + Ц=--+ (9.5.1)
причем функция є включает в себя не только ньютоновские потенциалы других планет, но также любой квадрупольный момент или даже моменты более высоких порядков от вклада Солнца в потенциал ф + гр. Теперь уравнение движения (9.2.1) точечной частицы имеет вид
^v GMr-sx —Й
IT=---+ П + (9.5.2)
где Tj — малое возмущение: T1 = - V (Є + 2<Р) - -g-+ V X (V X S) +
+ 3v-^- + 4v (vV) ф — у2Уф. (9.5.3)
В дальнейшем наиболее удобный метод вычисления прецессии перигелия будет связан с оценкой скорости изменения вектора Рунге — Ленца х)
A= -MqG^+ (VXh). (9.5.4)
Здесь г = I X I, Vs dx/dt, h — орбитальный угловой момент, приходящийся на единицу массы:
h = X X v. (9.5.5)
Если в уравнении (9.5.2) возмущение ц отсутствует, то орбиты будут эллиптическими и будут задаваться обычными формулами:
r =_^__(9 5
1 + е COS (ф —фо) ' *
(9.5.7)
|L = е|/_®_ЗІП(Ф_Ф0); (9.5.8)
1J Этот вектор введен еще Лапласом и его правильнее называть вектором Лапласа.— Прим. ред. § 5. Прецессия перигелия
249
где е — эксцентриситет, a L — фокальный параметр (§ 6 гл. 8). Мы рассматриваем орбиты, лежащие в плоскости 0 = я/2, с перигелием при значении азимутального угла <р = <р0. Тогда h будет постоянным, нормальным к орбите вектором, величина которого равна
I h \ = Y LMqG, (9.5.9)
а А — постоянный, направленный к перигелию вектор, величина которого равна
IAI = eM(T)G. (9.5.10)
Следовательно, скорость прецессии перигелия dq>0/dt, вызванной любым возмущением, есть как раз составляющая изменения dA/dt единичного вектора А = А/| А | вдоль направления, перпендикулярного как А, так и h, т. е.
^ = (hxA)4=(hxA).1^-. (9.5.11)
(Если d(p0/dt — положительная величина, то прецессия происходит в том же самом направлении, что и движение планеты.) Непосредственным вычислением можно показать, что скорость изменения А, порожденного возмущением г) в (9.5.2), равна
-^j- = Tjxh + vx(xXr|). (9.5.12)
Отметим, что dA/dt, а следовательно, и dyjdt линейны по ц, и поэтому корректное вычисление dyjdt — это суммирование вкладов в прецессию, даваемых каждым малым членом в tj.
Наибольшим членом в ц является — Ve, возникший от ньютоновских потенциалов других планет. Мы не будем пытаться вычислить этот член. Специалисты утверждают, что он приводит к прецессии dyjdt, которая для Меркурия составляет около 532" за столетие (§ 6 гл. 8). Следующий существенный член, появляющийся из-за релятивистских поправок в (9.5.3), можно получить, приравняв ф и g значениям, которые они имели бы при сферическом невращающемся Солнце:
GM-,
Фэ =--S0 = O. (9.5.13)
Тогда выражение (9.5.3) дает
ті= -2V*& + 4v (v-V) — V2V(9.5.14) Подставив (9.5.12) - (9.5.14) и (9.5.6) - (9.5.10) в (9.5.11), получим следующую формулу для вычисления:
^ = ЪМQGhL-3 [ 1 + Є COS (ф - ф0) ]¦3 X
x sin2 (ф - ф0) — MeGe-1ZiL"3 x x {7 [1 + е cos (ф - фо)]2 + 4 [1 4- е cos (ф- фо)]3 +
[1 ? cos (ф фо)]^} cos (ф фд). (9.5.15) 250
Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
Поскольку Cp0 меняется медленно, изменение ф0 за один оборот можно определить, интегрируя dq>0/dt на интервале, равном одному периоду, фиксируя при этом в подынтегральном выражении ф0 и используя для d(f/dt формулы Кеплера (9.5.6) — (9.5.10). Это приводит к следующему выражению для прецессии за один оборот:
2л 2л
а<р° := 1 -чг 5 = ¦T-1 % I1 +е'cos («Р ¦- ъ)]-* *р. (9.5.16) о о
Большинство членов исчезает при интегрировании по углам, и оставшиеся члены дают следующее выражение:
M-G
Аф0 = 6я—'j— (9.5.17)
в полном согласии с нашим более ранним результатом (8.6.11).
В качестве примера еще одного малого вклада в прецессию оценим действие поля возникающего из-за вращения Солнца. Согласно (9.4.34),
g = JJ(xXJ0). (9.5.18)
