Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
1 + т = Ьа-зсо-2 [і + 0 (i^L) j . (8.7.17)
Отметим, что в данном случае ? нельзя определить, измеряя запаздывание радиосигнала, даже в принципе (интересные соображения по этому вопросу содержатся в [30, 31]). Чтобы стало возможным определить и ? и у, необходимо наблюдать радиоэхо, отраженное от двух планет, находящихся на круговых орбитах, поскольку в этом случае есть десять наблюдаемых параметров и из них только восемь неизвестны. Более важным является то, что ? можно измерить, наблюдая радиоэхо только от Меркурия, поскольку его орбита настолько вытянута, что ее прецессия существенно влияет на время возвращения радиосигнала.
§ 8. Сингулярность Шварцшилъда *
Читатель, возможно, обратил внимание на то, что решение Шварцшилъда (8.2.12) становится при г = 2MG сингулярным. Это значение радиуса соответствует р = MGI2 и R = MG, откуда видно, что эта сингулярность возникает в том случае, когда метрика выражена в изотропной (8.2.14) или гармонической (8.2.15) формах. Радиус, при котором в стандартных координатах возникает сингулярность, называется шварцшилъдовским радиусом массы М.
Следует сразу подчеркнуть, что ни у одного из известных объектов во Вселенной гравитационное поле не имеет сингулярности Шварцшилъда. Сингулярность Шварцшилъда возникает в решении вакуумных уравнений Эйнштейна Rliv = 0, и, следовательно, не существенна, если радиус 2GM находится внутри массивного тела, где необходимо использовать полное уравнение Эйнштейна (7.1.13). Для Солнца радиус Шварцшилъда 2GMq равен 2,95 км, т. е. находится глубоко внутри Солнца, и, как мы убедимся в гл. 11, решение полного уравнения Эйнштейна для внутренней части стабильной звезды не имеет ни сингулярности Шварцшилъда, ни какой-либо другой сингулярности. Для протона радиус Шварцшилъда равен IO-80 см, что на 37 порядков ниже, чем характерный радиус протона IO-13 см! Как мы увидим из дальнейшего (гл. 11), очень массивное тело может коллапси-ровать до радиуса, много меньшего его шварцшильдовского радиуса, но, за этим одним гипотетическим исключением, сингулярность Шварцшильда, кажется, не имеет большого отношения к реальному миру.
*) Этот параграф лежит несколько в стороне от основной линии книги и может быть опущен при первом чтении.
15—0788 226 Гл. 8. Классические опиты, по проверке теории Эйнштейна
Тем не менее поучительно представить себе настолько малое и массивное тело, что радиус 2GM лежит вне его, в пустом пространстве. Тогда решение Шварцшильда выполняется для этого радиуса, и действительно возникает сингулярность. Но будет лн реально проявляться эта сингулярность? Легко вычислить четыре неисчезающих инварианта кривизны, описанных в § 7 гл. 6 и увидеть, что на радиусе Шварцшильда все они имеют идеальна хорошее поведение, хотя и становятся сингулярными в нуле. Эта наводит на мысль, что кажущаяся сингулярность Шварцшильда может быть только свойством системы координат, нами использованной. (Если на радиусе Шварцшильда хотя бы один инвариант кривизны был бы сингулярным, то эта сингулярность, конечно, проявлялась бы во всех системах координат.) Лишь не очень давно была найдена система координат, в которой можно избежать сингулярности Шварцшильда, если допустить возможность того, что мир имеет необычную топологию [32]. Чтобы продемонстрировать эту новую интерпретацию сингулярности Шварцшильда,
введем новый набор координат г', 0, ф, <' следующим образом:
= (8-8-2)
где T — произвольная константа. Тогда решение Шварцшильда приобретает вид
"-(-sT-) «р Ы-) <*¦-*">-
— г2 d02 — г2 sin2 0 йф2, (8.8.3)
где г считается теперь функцией интервала г'2 — t'2, задаваемого выражением (8.8.1). Метрика будет несингулярной, пока г2 имеет хорошее поведение и положительно определено, т. е. при условии
г'* > V2 - T2.
Следовательно, для временного интервала 0 < t' < T и всех действительных г' метрика будет совершенно гладкой, финитной функцией г'. Действительно, даже gee и ?фф не исчезают при г' = 0, так что, когда мы приближаемся к началу координат г' = 0, ничто не мешает нам продолжить на отрицательные г! Следовательно, пространство, описываемое (8.3.3), свободно от сингулярностей и состоит из двух тождественных листов с г' > 0 и г' < О, переходящих друг в друга непрерывным образом в точке ветвления г' = 0. Когда Ґ достигает значения Т, листы разъединяются и с этого момента в мет- Цитированная литература
227
рике появляется действительная сингулярность при г' — = ± Vt'2 — ^2' т- е- ПРИ I- = O. Однако если даже это так, метрика не имеет сингулярности при г' = V, что соответствует радиусу Шварцшилъда г = 2GM.
Напомним еще раз, что сингулярность Шварцшилъда не возникает в реально существующих во Вселенной гравитационных полях. В самом деле, эта сингулярность не может проявиться даже при гравитационном коллапсе (§ 9 гл. 11), ибо при t' < T пространство пусто для всех г'. Однако, как из басен Эзопа, отсюда следует полезная мораль. Она состоит в том, что появляющаяся в одной системе координат сингулярность в другой системе координат может иметь совершенно другую интерпретацию.
