Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
S00= -I + ^00+ ^00+ .... (9.1.10)
= + (9.1.11)
gio = gio + gio+ (9.1.12)
и, подставляя эти разложения в соотношения (9.1.7) — (9.1.9), получаем
S00=-L, Iii=-IiU Iio = L и т.д. (9.1.13)
Аффинную связность можно получить из хорошо известной формулы
При вычислении TvX мы должны учесть, что в качестве масштабов расстояния и времени в нашей системе выбраны г и rlv соответственно. Поэтому будем считать, что пространственные и временные производные имеют следующий порядок:
д _д_ _v_
г ' dt ~ ~
Используя наши оценки (9.1.4) - (9.1.6) и (9.1.10) - (9.1.13). находим, что компоненты Гоо, Tjft и Тш имеют разложения
= Г
+ Tlivx+... (для TtOO, T'jft,
T0oi). (9.1.14)
а компоненты T10j-, T000 и T0ij имеют разложения
T^ = Kx +Hx+... (для Ti0J-, T0OOi T0iJ-). (9.1.15)
N Jy__
Здесь символ T11vJl означает член порядка v /г в Гід. Компоненті^ перечисленные в (9.1.3), имеют следующий явный вид:
2 2
P00=-Ii^-, (9.1.16)
^ дх1
, 4 3 2
-ni 1 dgpo і dg j о , 1 dgpo /Q1 § 1. Постньютоновское приближение
233
3 dfto ; 2 , dSij 3 SgjO
дхі 1 dt дхі
2 Sgij 2 і dglh dSjk
dxh дхі дхі
2 1 dgoo
fi _ 1 Pft0 . dgV 0^0I /Q1 A QV
(9.1.19)
Ko=-^-jITl. (9-1-2°)
(9.1.21)
^ OX1
Г°у = 0. (9.1.22)
Очевидно, что нам необходимо знать компоненты gl}, включая
члены порядка v , gi0 до порядка v и g00 до порядка v . Напомним для сравнения требования ньютоновского приближения, когда
—2
надо знать g00 с учетом порядка vc, a gi0 и gtJ только в нулевом порядке.
Чтобы вычислить тензор Риччи, используем (6.1.5):
dt 2
о _ TJ^ __ STa11k | ^ti „ j,
^[M = л цЬх--^ 1-і цА,* ип — -I
Из (9.1.14) и разложений (9.1.15) и (9.1.16) находим, что компоненты тензора Biik имеют разложения вида
2 4
#оо = -Roo + Roo + • • •» (9.1.23)
RiO = RiO +RtO+-.ш, (9.1.24)
Ru = Ru + Rtj+...t (9.1.25)
N
где R^iv означает член порядка г; ,г в Rllv. Члены, которые можно
вычислить, пользуясь «известными» разложениями компонент аффинной связности, таковы:
2 2.
R00=-IE^L (9.1.26)
дх1
Roo = -^-j^l + PciriOO - TiJiih (9.1.27)
01 дх1 234
Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
2 . з
3 dThЯГ .
2 2 2 2 яго.„ ^rftii
= --" (9.1.29)
дхі дхі dxh v
Если использовать (9.1.16)-(9.1.21), получим
2 I2
^oo = -I-V2Soo, (9.1.30)
2 -да--T^T+TV Zoo-
2 2 2 1 I g2gQ0 1 ( дЄіі \ і dgoo
2 Ari&ri 2 \ dxi \ дхі
+
2 2 2 1 / %oo \ { dgoo \ J_ 1 ( dgM \ ( 9gjj
2
R11 ¦
(M-W)
2 3 2
з t 0?^. ! ! 0?^ ! з
-Rjo = -9—-г----9- . • • ~T—T-+-,-V2Sio, (9.1.32)
2 dx^dt 2 dxidxi 1 dxJdt 2 2 |2 , 1 Ю»*кк
2 2 1 5? 1
(9-1-33)
Теперь можно сильно упростить все выражения, выбрав подходящую систему координат. Мы показали в § 4 гл. 7, что Xv-всегда можно определить так, чтобы оно подчинялось условию гармоничности координат:
SlivI1Vv = 0. (9.1.34)
Используя (9.1.10)-(9.1.13) и (9.1.16)-(9.1.21), находим, что исчезающий набор членов третьего порядка в SlivTVv имеет вид
о 1 (9.1.35)
Z dt Qx1 ? dt х '
а равные нулю члены второго порядка в SlivTVv записываются так:
0=4-і^+ік_ і Al . (9.1.36)
2 дхі дхз ^dxi § 1. Постньютоновское приближение
235
Отсюда следует, что
2 3 2
1 'J2SiO , 1 o2goo ^Q5
2 OIio( 2 д* 2 З 2
J^Sii___^?го___= 0
dt дхі дхі дхі QxiQt '
^4- An _0
OXh Ox3 Oxi дхі дхі Qxh дхі Qxh
и выражения (9.1.30) — (9.1.33) дают теперь упрощенные формулы для тензора Риччи:
2 I2
Roo =^irV2S00, (9.1.37)
2 2 = + (9.1.38)
At = 4" WiC (9.1.39)
RtJ = -^V1ItJ- (9.1.40)
Мы готовы использовать полные уравнения Эйнштейна, записанные в форме
Rliv = - 8nG (Tllv - -L g?VT\) . (9.1.41)
Исходя из нашей интерпретации плотности энергии, плотности импульса и потока импульса, мы полагаем, что разложения Г00, Tio и Tii имеют вид:
T00 = T00 + !00+ (9.1.42)
Tio = Tio+ Tio+ ..., (9.1.43)
Tij = Tii+ Tii + ..., (9.1.44)
N __з _N
где символ Ttiv означает член Tiiv порядка (M/г ) v . (В част-
о 2
ности, Г00 есть плотность массы покоя, а Г00 — нерелятивистская
часть плотности энергии.) Итак, выражение, которое необходимо знать, имеет вид
¦V=Tviv--L g?vT\. (9.1.45) 236
Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
__ 2
Но GM/г имеет порядок v > поэтому формулы (9.1.4) — (9.1.6)
и (9.1.42)— (9.1.44) приводят к следующим выражениям:
5оо = 5оо + 5оо+ ..., (9.1.46)
S10-Sto+ Я» + ..., (9.1.47)
Sij = Sij-^Sij+..., (9.1.48)
N __3 , N
где Slw есть член порядка Mv /г ;в Sllv. В частности, имеем
J00 = -Iroo, (9.1.49)
Soo = \ [Tw - 2g00T00 + Iii], (9.1.50)
Sio=-T0W (9.1.51)
S1J= + -g"StjT00. (9.1.52)
Подставляя (9.1.37) — (9.1.40) и (9.1.46) — (9.1.52) в уравнения поля (9.1.41), видим, что уравнения в гармонических координатах действительно согласуются с использованными разложениями, и это приводит к таким результатам:
V2I0O=-S ^T00, (9.1.53)
2 2 2 2 V7Z^ __ I ^gQO І І d2g00 ( dgpo \ (ji00_)
V Soo--ГЙГ + gu-j^- {-?Г} | -
