Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Т»ч = р^+(р + р)и»1Г. (9.8.1)
Здесь р и р — собственные давление и плотность энергии, т. е. те значения, которые измеряются локально-сопутствующим и свободно падающим наблюдателем, a Uil — 4-вектор скорости dx^/dx. (Конечно, р и р равны нулю везде, исключая области внутри Солнца и планет.) Чтобы вычислить U^1 положим
ТІЇ ГІтї
W = (9-8-2)
и вычислим U0 с помощью (9.2.2):
Программа вычисления движения жидкости в значительной мере зависит от того, существует ли уравнение состояния, задающее р в виде функции от р, как в случае холодной вырожденной жидкости (гл. 11), или же р будет зависеть также и от температуры. Если давление есть функция только р, то наша программа, в сущности, та же, что и в § 3 гл. 9, а именно:
А. Необходимо сперва решить задачу Ньютона. При этом можно считать, что давление имеет порядок v2M/rs, и, следовательно, нужные компоненты тензора энергии-импульса записы-
х) Постньютоновские уравнения были исследованы в работе [17]. Для ознакомления с пост-постньютоновскими уравнениями можно рекомендовать работу [18]. Эффекты радиационных реакций были учтены в работе [19]. 262
Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
ваются с помощью выражений (9.8.1) — (9.8.3) в виде
T00 = P, (9.8,4;
Ti0 = m, (9.8.5)
Tii = PbtJ + PVlVj. (9.8.6)
К ньютоновским уравнениям движения можно прийти, подставляя выражения (9.8.4) — (9.8.6) в уравнения сохранения массы и импульса (9.3.2) и (9.3.3):
ІЕ. + V-(PV)= 0, (9.8.7)
-Ir (pv) + V- (Pw) = -PV*-Vp, (9.8.8)
где р задается уравнением состояния в виде функии от р, а ф определяется уравнением Пуассона (9.3.12)
У2ф = AnGp. (9.8.9)
Б. Использовать величины р, р, у и ф, определенные в А, чтобы вычислить компоненты (9.8.4) — (9.8.6) тензора T^v, а также величину
T00 = P (у2~2ф). (9.8.10)
В. Использовать результаты А и Б, а также выражения (9.1.62) и (9.1.65), чтобы рассчитать постньютоновские поля ? иг|э.
Г. Найти р, р и V в постньютоновском приближении. В заданном порядке тензор энергии-импульса определяется выражениями (9.8.1) — (9.8.3) в виде
Т»0 + Т00 = р(1 + у2-2ф), (9.8.11)
7ті0 + !Tio = (р-V- р+ v2p — 2фр)\, (9.8.12)
Tii + Tii = pbij (1 + 2ф) + vivi (р + р-2фр + фу2), (9.8.13)
и постньютоновские уравнения движения получаются, если подставить (9.8.11) — (9.8.13) в уравнения сохранения энергии и импульса (9.3.2), а также в (9.3.3) —(9.3.5):
JL [р (1 _ V2_ 2ф)] + V. [V (р + р + v2p - 2фр)] = P -g-, (9.8.14) [V (Р + р + v2p- 2фр)] + V -[W (р + р-2фр + фу2)] = § 8. Постньютоновская гидродинамика
263
= — V [р (1 + 2f)] —pV (ф + 2ф2+ *Ф) — P — P (v2 —2<?) Уф +
+ PVX (У X ?) + 4pv —
— (3р + pv2) Уф + АрУф + Арх (у.Уф). (9.8.15)
Д. Процедура итераций продолжается по этому рецепту дальше.
Вопрос усложняется, когда температура является независимой переменной. Тогда на каждом этапе вычислений необходимо иметь еще одно дополнительное уравнение — уравнение непрерывности:
^T (/J^) = O1 (9.8.16)
где р — плотность массы покоя, пропорциональная плотности числа частиц в жидкости [ср. с уравнением (5.2.14)]. Предположим, что уравнение состояния, задающее давление как функцию р, и плотности энергии е = О (у2), имеет вид
T00=HU0 + е. (9.8.17)
Тогда в нашем распоряжении имеются уравнение непрерывности (9.8.16), условие сохранения импульса T^i- ? = 0 и условие сохранения энергии, которое после вычитания из них (9.8.16) можно записать так:
Vz*+-~Vs [Ti0 -[XfZi]= (9.8.18)
Однако теперь на каждом этапе мы используем условие сохранения энергии на один порядок выше по у2. Последовательность такова: в ньютоновском приближении берем уравнение непрерывности, учитывая только первый порядок по у, условие сохранения
импульса до членов порядка v2, а условие сохранения энергии
¦¦¦ g
до членов порядка v ; в постньютоновском приближении используется уравнение непрерывности до членов порядка у3, условие сохранения импульса — до членов порядка у4, а условие сохранения энергии — до членов порядка у5. Даже не расписывая подробно эти выражения, можно заметить, что такая программа реализуема, поскольку при ньютоновском рассмотрении нам з 2
необходимо иметь T000 и Г°;0, которые уравнениями (9.1.71) и (9.1.72) определяются только через ф, а в постньютоновском
5 4 3
приближении нам нужно знать T000, T0io, T0ij-, задаваемые выражениями (9.1.73) —(9.1.75) через постньютоновские поля. 264
Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
§ 9. Приближенные решения в теории Бранса — Дикке
Чтобы проверить общую теорию относительности, полезно сравнить ее с какой-нибудь другой теорией. Теория Бранса —-Дикке, описанная в § 3 гл. 7, идентична в отношении физической интерпретации метрики ^liv общей теории относительности, а отличается от нее только тем, что содержит в уравнениях гравитационного поля новое скалярное поле ф. Чтобы не спутать скалярное поле Бранса — Дикке ф с ньютоновским потенциалом, будем записывать первый в виде (1 + где —постоянная порядка G, а I —скалярное поле, определяемое следующим образом:
