Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вейнберг С. -> "Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности" -> 84

Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.

Вейнберг С. Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности — М.: Мир, 1975. — 695 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyaikosmologiya1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 254 >> Следующая


-ArTilv=- - TVTav- (9.3.1)

Так как все Г имеют по крайней мере порядок у2/г, член порядка Mvfri с v = 0 дает

4-Г00+ — Г0 = 0. (9.3.2)

dt дхі v

Это выражение можно рассматривать как закон сохранения массы", для нас не будет неожиданностью сохранение массы в постньютоновском приближении, так как большая скорость превращения массы в энергию создавала бы температуры, при которых частицы системы двигались бы релятивистски, в противоречии с исходным условием V 1. Уравнение (9.3.2) важно не только само по себе; оно нам необходимо для согласованности с условиями гармоничности координат. Из (9.1.53) и (9.1.55) мы видим, что уравнение (9.3.2) требует § 3. Тензор энергии-импульса

241

Поскольку г|з и ? на бесконечности исчезают, можно сделать вывод, что

4-g- + V.6 = 0,

подтвердив, таким образом, координатное условие (9.1.66).

Возвращаясь к уравнению (9.3.1), находим, что при v = і члены порядка Mv2Iri приводят к следующему соотношению:

Я 1 ¦ д 2 .. 2. О

a тог _ P Гоо#

Ot дхі

Используя (9.1.67), запишем это так:

д уоі і d JTjj _ __ дф j,00 .g 2 g,

St дхі дхі

Так как Tlj есть поток импульса, то формула (9.3.3) выражает закон сохранения импульса. Отметим, что правая часть (9.3.3) есть как раз плотность ньютоновской гравитационной силы,

о

равная плотности массы T00, умноженной на —

Нет других законов сохранения, которые содержали бы только ге компоненты Tilv, которые необходимы для вычисления полей

о

в постньютоновском приближении, т. е. только компоненты T00, 2 1 . 2 ..

71°0, T1" и Tl3. Заметим, кроме того, что gliv входит в оба закона сохранения (9.3.2) и (9.3.3) только через ф, которое можно вычислить в ньютоновском приближении. Процедура, таким образом, будет существенно итерационной. Мы должны будем сперва решить ньютоновские уравнения движения; затем использовать это решение (в добавление к уравнениям состояния) для того,

O 2 1 . 2 .. чтобы определить компоненты Г00, T00, Tm и T1затем вычислить ностньютоновские поля г|) и а после этого вновь рассчитать движение частиц, и так далее. Можно показать [1], что эта процедура справедлива в любом порядке, т. е. чтобы вычислить поля в N-м приближении, необходимо знать компоненты тензора T^v, которые удовлетворяли бы законам сохранения и содержали поля, вычисленные только в (N — 1)-м приближении. Для нас здесь будет достаточным написать законы сохранения, которым подчинялись бы компоненты Tlfiv более высокого порядка, чем те, что появляются в (9.3.2) и (9.3.3). В выражении (9.3.1) при v=0 член порядка Mv3Iri и при v = і член порядка MviIri имеют следующий вид:

2 3 з 3 0 221

JL Tоо + — Tiо = - (2Г°00 + Tiio) T00 - (ЗГ°0; + rj;i) Toi,

Ol дхг

1 6-0788 242

Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика

я 3 я 4 . 4. О 22

а Jiio ° ___T100T00_Г* T00_

dt gxj 00

- (2Т% + 6„гЧо + bjh0k) Toi - (TiJh + bo Au + г1/ Ал) Tjk.

Используя (9.1.67) — (9.1.72), это можно записать так: JLf00+-Ti0 = T00^t- , (9.3.4)

dt gxi dt v

д плОІ I d mil ?00 Г d /о 12 I „|Л і

уо; Г Зі__ді} іб дф І

L fei dz» U ^ J

_|00_?Ф ^oj Г d^ /.* дф

dx*

-TjhI8IkITi—4бг*4т1' (9.3.5)

l дхг дх' j

2 3 4 ..

Как мы и ожидали, компоненты источника Г00, Г'0 и Ttl, необходимые для вычисления гаост-постньютоновских полей, подчиняются законам сохранения, содержащим метрику только в постньютоновском порядке.

Для вычисления тензора энергии-импульса нам, конечно, необходима модель. Простейшей такой моделью является совокупность свободно падающих частиц с гравитационным или контактным взаимодействием. Из выражения (5.3.5) имеем

Jliv (х, t)=g-4z(x, t) 2 mnx

П

dxl(t) , dr ч_і

03 (X-X71(O), (9.3.6)

где mn, (t) и xn — масса, пространственно-временная координата и собственное время п-й частицы соответственно, а —g есть детерминант ^Jiv- Элементарные вычисления, использующие (4.7.5), дают

2 4

g=i +g + g+ . . .,

N -N

где g имеет порядок V и, в частности,

2 2 2 2

S = 1H^V= -&0 + S»= ~4Ф- (9-3.7) § 3. Тензор энергии-импульса

243

Подставляя (9.3.7) и (9.2.3) в (9.3.6), находим, что

T00=STTinS3(X-X7l)1 (9.3.8)

п

r00=Sm7l(^+i-v„2)63(x-x„), (9.3.9)

п

Tio = SnWS3(X-X7l)1 (9.3.10)

п

Tii = Yi TnnVniVniSs (X-X71)1 (9.3.11)

п

где Vn = dxn/dt. Чтобы ввести законы сохранения, необходимо вспомнить, что

-If б3 (х - X71 (t)) = Vn1 -V б3 (X - х„ (0) = - V71 • V63 (X - х„ (<));

dxn

поэтому

л о а 1 .

" JOO і " у10 г _ Q dt ^r '

JrTO* + ^- h= 2 ^-%ІбЗ(х-хп).

n

Мы видим, что если закон сохранения массы (9.3.2) удовлетворяется автоматически, то закон сохранения импульса (9.3.3) выполняется в том и только в том случае, если каждая частица подчиняется ньютоновскому уравнению движения

-Уф (хп). (9.3.12)

Таким образом, расчет движения совокупности гравитационно взаимодействующих точечных частиц должен проводиться по следующей программе:

A. Решить ньютоновскую задачу, т. е. решить уравнения (9.3.12) и (9.1.58) для xn (t) и ф (х). (Это единственный шаг, который не всегда выполняется путем прямого вычисления.)
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 254 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed