Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
-ArTilv=- - TVTav- (9.3.1)
Так как все Г имеют по крайней мере порядок у2/г, член порядка Mvfri с v = 0 дает
4-Г00+ — Г0 = 0. (9.3.2)
dt дхі v
Это выражение можно рассматривать как закон сохранения массы", для нас не будет неожиданностью сохранение массы в постньютоновском приближении, так как большая скорость превращения массы в энергию создавала бы температуры, при которых частицы системы двигались бы релятивистски, в противоречии с исходным условием V 1. Уравнение (9.3.2) важно не только само по себе; оно нам необходимо для согласованности с условиями гармоничности координат. Из (9.1.53) и (9.1.55) мы видим, что уравнение (9.3.2) требует§ 3. Тензор энергии-импульса
241
Поскольку г|з и ? на бесконечности исчезают, можно сделать вывод, что
4-g- + V.6 = 0,
подтвердив, таким образом, координатное условие (9.1.66).
Возвращаясь к уравнению (9.3.1), находим, что при v = і члены порядка Mv2Iri приводят к следующему соотношению:
Я 1 ¦ д 2 .. 2. О
a тог _ P Гоо#
Ot дхі
Используя (9.1.67), запишем это так:
д уоі і d JTjj _ __ дф j,00 .g 2 g,
St дхі дхі
Так как Tlj есть поток импульса, то формула (9.3.3) выражает закон сохранения импульса. Отметим, что правая часть (9.3.3) есть как раз плотность ньютоновской гравитационной силы,
о
равная плотности массы T00, умноженной на —
Нет других законов сохранения, которые содержали бы только ге компоненты Tilv, которые необходимы для вычисления полей
о
в постньютоновском приближении, т. е. только компоненты T00, 2 1 . 2 ..
71°0, T1" и Tl3. Заметим, кроме того, что gliv входит в оба закона сохранения (9.3.2) и (9.3.3) только через ф, которое можно вычислить в ньютоновском приближении. Процедура, таким образом, будет существенно итерационной. Мы должны будем сперва решить ньютоновские уравнения движения; затем использовать это решение (в добавление к уравнениям состояния) для того,
O 2 1 . 2 .. чтобы определить компоненты Г00, T00, Tm и T1затем вычислить ностньютоновские поля г|) и а после этого вновь рассчитать движение частиц, и так далее. Можно показать [1], что эта процедура справедлива в любом порядке, т. е. чтобы вычислить поля в N-м приближении, необходимо знать компоненты тензора T^v, которые удовлетворяли бы законам сохранения и содержали поля, вычисленные только в (N — 1)-м приближении. Для нас здесь будет достаточным написать законы сохранения, которым подчинялись бы компоненты Tlfiv более высокого порядка, чем те, что появляются в (9.3.2) и (9.3.3). В выражении (9.3.1) при v=0 член порядка Mv3Iri и при v = і член порядка MviIri имеют следующий вид:
2 3 з 3 0 221
JL Tоо + — Tiо = - (2Г°00 + Tiio) T00 - (ЗГ°0; + rj;i) Toi,
Ol дхг
1 6-0788242
Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
я 3 я 4 . 4. О 22
а Jiio ° ___T100T00_Г* T00_
dt gxj 00
- (2Т% + 6„гЧо + bjh0k) Toi - (TiJh + bo Au + г1/ Ал) Tjk.
Используя (9.1.67) — (9.1.72), это можно записать так: JLf00+-Ti0 = T00^t- , (9.3.4)
dt gxi dt v
д плОІ I d mil ?00 Г d /о 12 I „|Л і
уо; Г Зі__ді} іб дф І
L fei dz» U ^ J
_|00_?Ф ^oj Г d^ /.* дф
dx*
-TjhI8IkITi—4бг*4т1' (9.3.5)
l дхг дх' j
2 3 4 ..
Как мы и ожидали, компоненты источника Г00, Г'0 и Ttl, необходимые для вычисления гаост-постньютоновских полей, подчиняются законам сохранения, содержащим метрику только в постньютоновском порядке.
Для вычисления тензора энергии-импульса нам, конечно, необходима модель. Простейшей такой моделью является совокупность свободно падающих частиц с гравитационным или контактным взаимодействием. Из выражения (5.3.5) имеем
Jliv (х, t)=g-4z(x, t) 2 mnx
П
dxl(t) , dr ч_і
03 (X-X71(O), (9.3.6)
где mn, (t) и xn — масса, пространственно-временная координата и собственное время п-й частицы соответственно, а —g есть детерминант ^Jiv- Элементарные вычисления, использующие (4.7.5), дают
2 4
g=i +g + g+ . . .,
N -N
где g имеет порядок V и, в частности,
2 2 2 2
S = 1H^V= -&0 + S»= ~4Ф- (9-3.7)§ 3. Тензор энергии-импульса
243
Подставляя (9.3.7) и (9.2.3) в (9.3.6), находим, что
T00=STTinS3(X-X7l)1 (9.3.8)
п
r00=Sm7l(^+i-v„2)63(x-x„), (9.3.9)
п
Tio = SnWS3(X-X7l)1 (9.3.10)
п
Tii = Yi TnnVniVniSs (X-X71)1 (9.3.11)
п
где Vn = dxn/dt. Чтобы ввести законы сохранения, необходимо вспомнить, что
-If б3 (х - X71 (t)) = Vn1 -V б3 (X - х„ (0) = - V71 • V63 (X - х„ (<));
dxn
поэтому
л о а 1 .
" JOO і " у10 г _ Q dt ^r '
JrTO* + ^- h= 2 ^-%ІбЗ(х-хп).
n
Мы видим, что если закон сохранения массы (9.3.2) удовлетворяется автоматически, то закон сохранения импульса (9.3.3) выполняется в том и только в том случае, если каждая частица подчиняется ньютоновскому уравнению движения
-Уф (хп). (9.3.12)
Таким образом, расчет движения совокупности гравитационно взаимодействующих точечных частиц должен проводиться по следующей программе:
A. Решить ньютоновскую задачу, т. е. решить уравнения (9.3.12) и (9.1.58) для xn (t) и ф (х). (Это единственный шаг, который не всегда выполняется путем прямого вычисления.)