Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
6Л , = -35?-П. (9-9-1)
?->0 при г оо. (9.9.2)
[См. уравнение (7.3.13). Мы опустили у T индекс М, но пол T^lv будем понимать тензор энергии-импульса материи, не включая в него поле Величина ю есть безразмерная константа, равная примерно 6.] Уравнения гравитационного поля задаются формулой (7.3.14) в виде
R^ - J g?vR = - (1 +1)-1 Tliv --С0(1+Г2 (Ь ^vE; pS;P)-
-(l + ird:*; V(9.9.3)
Используя (9.9.1), чтобы определить р ;р, и свертку (9.9.3) для нахождения R, перепишем (9.9.3) в форме
Riiv = - 8л& (1 + Г1 [^Vv - (-|±L) ] _
- со (1 + H)"211 v _ (1 -f 5)-1 Ii к v. (9.9.4)
Из соотношений (9.9.1) и (9.9.2) следует, что ? можно разложить в ряд:
1 = 1 + 1+..., (9.9.5)
где I имеет порядок V и, в частности,
V2I= --3??^00. (9-9.6) § 9. Приближенные решения в теории Бранса — Дикке 265'
С помощью (9.9.4)-(9.9.6) и (9.1.37)-(9.1.40) уравнения поля переписываются следующим образом:
V2g-OO = - SnS (??-) L, (9.9.7)
2 2 Т72Я — d2Zoo I d2Soo \2 і
—-(Vfto) +
/ 2 \ 2 2 2 ¦ , O^i €
-Mt) -2^riOO-Sb (9-9.8)
з і 2S
V2gi0 = 16я?Г° -2 -P-, (9.9.9)
dz1
V2L= (9.9.10)
Из (9.9.7) следует, что гравитационная постоянная, измеряемая при наблюдении за медленно движущейся частицей или в эксперименте с изменением масштаба времени, есть не а величина G, равная
<H-|±i-)S. (9.9.11)
2
Таким образом, мы получаем обычное соотношение между g00-и ньютоновским потенциалом ф
Ioo=-2 ф (9.9.12)
при условии, что ф определяется в виде
V^ = AnGT00. (9.9.13)
Из (9.9.6) и (9.9.13) следует также, что
I= _ ((0 + 2)-1 ф,
4 3 2
а уравнения поля для goo> gi0 и gfJ имеют вид
*T»-8«G (-?±1) h-
(9-9.14) 266
Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
,4=-8^(-?-)+^^-. (9.9.16)
В качестве примера рассмотрим поле статической сферически-симметричной массы. В этом случае ньютоновский потенциал есть функция только г и (9.9.16) дает
2 gii
I=-2M-Sr)*+
' (0+2 Вне массы имеем
{ («« -? ^ j r^ W dr + Xj?} • (9-9-17)
о
ф = (9.9.18)
и поэтому (9.9.17) приводит к выражению
2 _ / 2(0+1 \ MG д , MG xixJ Sa-\ со + 2 +Ih=T г» +
где R —эффективный радиус, определяемый следующим образом:
OO
MGR2 =3 j [ ф (г) + i^] г2 dr. (9.9.20)
о
(Подынтегральное выражение исчезает вне массы, поэтому мы вольны выбирать в качестве верхнего предела любую точку от г до оо). Подставляя (9.9.18) и (9.9.19) в (9.9.14), имеем
—24__2 (2(0+3) AZ2G2 24МЗД2Д!з
V (ш + 2) г* ((0 + 2) r«
Решение этого уравнения записывается в виде
4 _ (2м + 3) M2G2 2M2G2R2 , HM2G2 /о о <м\
Soo---<(о+2) г2 ((0+2) г4 + rR ' {У-У-^Ч
где "/с — безразмерная константа, которая должна быть определена из условия гладкости перехода внешнего решения (9.9.21) в несингулярное решение для внутренней области.
Из результатов (9.9.19) — (9.9.21) следует, что гравитационное поле вне сферической статической массы зависит от величины § 9. Приближенные решения в теории Бранса — Дикке 267
массы и ее распределения. Однако этот эффект зависимости от величины массы можно исключить соответствующим переопределением величин M и х:
М' = М[ I-^p-], (9.9.22)
''"L1+-^]- <м-23>
Тогда два последних члена в (9.9.21) и последнее слагаемое в (9.9.19) при замене переменных (9.9.22) и (9.9.23) сокращаются
2 о
с соответствующими членами, возникающими в ^00 и gij. Опуская штрихи, в итоге получаем
2
IMG
goo = ^l, (9.9.24)
г
4
(2С0+3) MW ,q q
(ш+2) г» • (У.У.^0)
2 / 2(0 + 1 \ MG я , MG xixj .„ п „„.
(трг) "Г" o»+u+r—• (9-9-26)
Таким образом, теория Бранса — Дикке разделяет утверждение теории Эйнштейна, что гравитационное поле вне статической сферически-симметричной массы зависит только от М, но не от каких-либо других свойств массы.
Это решение можно сравнить с общим разложением Роберт-сона (8.3.7) в гармонических координатах, которое (для а = 1) дает
2
^oo =
IMG
4 / а і оа\
goo= — (Y-l+2?) -J-
2 MG MGx ;х і
gij = (Зу— 1) Si;—7— + (1 —у)
г 4 " r°
Следовательно, результаты Бранса — Дикке (9.9.24) — (9.9.26) можно воспроизвести, задав параметры Робертсона с помощью формул
^=-Sr' P=1- (9-9-27)
Эти формулы уже использовались в предыдущей главе при сравнении теории Бранса — Дикке с экспериментом.
з
Отметим, что элемент gio E= метрического тензора для статической системы, задаваемый уравнением (9.9.15), имеет вид 268 Гл. 9. Лветньютоновская небесная механика
Отсюда следует, что влияние вращения сферической массы на прецессию спина и перигелия в теории Бранса — Дикке (для О <с со < оо) меньше, чем в общей теории относительности, в (2со + 3)/(2(0 + 4) раз.
Наиболее критические проверки теории Бранса — Дикке — это те, которые связаны с проверкой «очень сильного» принципа эквивалентности. В любой точке P гравитационного поля можно выбрать локально-инерциальную систему координат, в которой в этой точке = Tjtiv и TtlV = 0. Однако поле Бранса — Дикке | — скаляр, а потому не исчезает в точке Р, а будет задаваться уравнениями (9.9.6) и (9.9.13):
