Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Vxg1 = O, (15.9.8)
V-gi= — 4nGpj. (15.9.9)
Кроме того, поскольку эти флуктуации пока будем считать адиаба-
тическими, флуктуация давления определяется равенством
Pi = ZViP1, (15.9.10)
где Vs — скорость звука. [Здесь и ниже р означает невозмущенную плотность (15.9.1).]
Уравнения (15.9-6) — (15.9.10) пространственно-однородны, и следует ожидать существования решения в виде плоских волн. Действительно, можно найти решения со следующей простран-
р=р»Ыч] •
-[If]. § 9. Ньютоновская теория малых флуктуации.
613
ственнои зависимостью:
Pi(r, i) = Pi(0exp {-??-} (15.9.11)
и аналогично для V1 и g^ (Появление множителя Л""1 в экспоненте означает, что длины волн этих мод растягиваются из-за расширения Вселенной, как и предсказывалось в'предыдущем параграфе.) Уравнения (15.9.6) — (15.9.10) теперь превращаются в систему обыкновенных дифференциальных уравнений со связями:
Pi+ ЧГ Pi+ ^PjSr = 0, (15.9.12)
vi + -Jv'=-J^-qpi + gi, (15.9.13)
q Xg1 = 0, (15.9.14)
iq.gi= -AnGEpi. (15.9.15)
Уравнения поля (15.9.14) — (15.9.15) имеют очевидное решение
8i= AniGpiRtl (15.9.16)
Для решения уравнений движения удобно разложить V1 на компоненты — перпендикулярную и параллельную q:
vi (0 = vix(0 + *qe(f). (15.9.17)
где
q.Vi1=O ід.ух
е- 55--
Удобно также выразить P1 через относительное изменение плотности б:
Pi (i) = P (0 б (t) = P0 [-І]3 б (і). (15.9.18)
Тогда (15.9.13) распадается на пару независимых уравнений
Vix +I-Vi1 = о, (15.9.19)
^ + Ie= (-ї + ^)6' (15-9"2°)
а уравнение (15.9.12) упрощается:
б = І-є. (15.9.21)
R ¦614
Гл. 15. Космология; эталонная модель
Из уравнений (15.9.19) — (15.9.21) видно, что в данном случае есть два совершенно различных типа нормальных мод. Вращательные моды, описываемые компонентой V1^, просто затухают как В'1:
Vi1 (t) ~ В'1 (t). (15.9.22)
Моды сжатия, описываемые величинами є и б, имеют более интересную временную зависимость. Используя (15.9.21) для исключения є из уравнения (15.9.20), получаем
6 + ^-6+ 6 = 0. (15.9.23)
Заметим, что это выражение переходит в дисперсионное соотношение Джинса (15.8.6), если считать В постоянным и определить волновое число к как qIR. Уравнение (15.9.23) является фундаментальным дифференциальным уравнением, которое определяет рост или затухание гравитационных конденсаций в расширяющейся Вселенной.
Изложенная ньютоновская теория становится применимой при переходе к эре преобладания вещества, когда плотность энергии излучения становится ниже плотности масс покоя, так что р р. К сожалению, сложность уравнения (15.9.23) не позволяет получить замкнутое решение, справедливое в течение всей эры преобладания вещества. Можно, однако, дать ответы на наиболее интересные вопросы о поведении б (t), решая уравнение (15.9.23) в ряде специальных случаев.
А. Решения с нулевым давлением. Согласно общей картине, наброски которой мы сделали в предыдущем параграфе, предполагается, что галактики вырастают из малых флуктуаций, сохранившихся к моменту рекомбинации водорода от предыдущей фазы затухающих акустических колебаний. Наиболее важно для нас ответить на вопрос: насколько такая протогалактическая флуктуация может вырасти со времен рекомбинации до настоящего времени? Ити, говоря языком, который бли ке наблюдениям: как велика должна быть флуктуація в момент рекомбинации, чтобы иметь шанс превратиться в галактику к настоящему времени?
Для ответа на эти вопросы можпо упростить уравнение (15.9.23), пренебрегая членом vs2q2/R2, соответствующим давлению. Этот член пренебрежимо мал по сравнению с гравитационным членом 4л(?р, если волновое число I k I = I q | IR много меньше волнового числа Джинса (15.8.8), или, что то же самое, если масса флуктуации (15.8.12) много больше массы Джинса (15.8.13). Мы знаем из предыдущего параграфа, что сразу после рекомбинации масса Джинса становится порядка IO9TWq—S-IO6Mq и что затем она убывает как R~3'2. Поэтому после рекомбинации галак- § 9. Ньютоновская теория малых флуктуации.
615
тическая масса порядка IO11Mq будет, во всяком случае, намного больше массы Джинса.
Чтобы продолжить решение уравнения (15.9.23) до настоящего времени, необходимо использовать параметрические формулы для R (t) и р (t), выведенные в § 3 этой главы; они различны для положительной, нулевой и отрицательной кривизны:
R(t)
fc = +1
(2^0-1)-1 (1 cos0),
"'U
H0t = q0(2q0-l)~V2 (Є-sin Є), ЗЯ0"-(2д0-1)3
Je= 0
R(t)
AnGq02 (1 — cos R (t) / 3Hnt \ 2/з
/ 6H0t \ а/з
V 2 } ' (6JTG*2)-1,
Je= - 1
= 50(1-2?)"1 (chY-1),
Ro
H0t = q0(i-2q0y3/2(s}iW-W),
3ff02(i_2g0)3
^ 4яС?02(ch ? — l)3 '
В пренебрежении давлением уравнения (15.9.23) имеют следующий вид: к = +1
к = 0
к=- 1
(1 — cos 0)-!g. + sin0^--36:
db de
0,
(cb?~l)
d2 б
sh
¦36 = 0.
(15.9.24)
(15.9.25)
(15.9.26)
dy* 1 "" diy
В каждом случае имеются два независимых решения, которые мы обозначим б+ и 6_:
. 36 sin 6
0+
5 + с OS 0
