Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
(15.8.8)
так что P1 может расти (или убывать) по экспоненциальному закону з показателем экспоненты
Im о = Vt (Aj2 - к2)1/2 при к2 < к/. (15.8.9)
К сожалению, теория Джинса неприменима к образованию галактик в расширяющейся Вселенной: Джине предполагал, что среда статическая, тогда как относительная скорость расширения Вселенной во всех интересных для нас случаях определяется формулой (15.1.20)
т. е. она того же порядка, что и максимальное значение показателя экспоненты (15.8.9). Первая удовлетворительная теория неустой-чивостей в расширяющейся Вселенной была построена в 1946 г. Е. М. Лифшицем [255]. Он показал, что в расширяющейся Вселенной возмущения при волновых числах, меньших ki, растут не экспоненциально, а как степень t или R (t). Этот результат будет § 8. Образование галактик
605
подробно выведен и обсужден ниже с использованием как нерелятивистского подхода, предложенного в 1957 г. Боннером [256] (§ 9 этой главы, а также [257]), так и упрощенного варианта релятивистской теории Лифшида (§ 10 этой главы).
Хотя мы пока и не в состоянии определить скорости, с которыми в действительности растут возмущения, мы можем довольно легко установить, какие возмущения могут расти, а какие нет. При достаточно больших волновых числах волны, описываемые теорией Джинса, становятся обычными звуковыми волнами, причем
о2 = к2^. (15.8.11)
Каковы условия, при которых это простое дисперсионное соотношение справедливо? Гравитационные силы будут пренебрежимо малы, если гравитационная энергия сферы радиусом | к много меньше, чем ее тепловая энергия:
|k|-i
Влияние расширения Вселенной также будет ничтожным, если относительная скорость расширения много меньше, чем частота:
Оба эти условия удовлетворяют соотношениям (15.8.11), коль Скоро волновое число удовлетворяет условию
I k I » kj,
т. е. такому же, как и в теории Джинса. Итак, даже при учете расширения Вселенной следует ожидать, что есть критическое волновое число порядка kj и возмущения с волновыми числами больше него не могут расти, а только осциллируют, подобно звуковым волнам.
Поскольку из-за расширения Вселенной к уменьшается пропорционально R'1, то удобно характеризовать возмущения некоторой постоянной — массой покоя шара радиусом 2л/1 к |:
М = (15.8.12)
где п — плотность атомов водорода. Согласно проведенному выше анализу, растущими возмущениями являются только те, волновые числа которых меньше kj, и, следовательно, масса M больше массы Джинса
Й/Г _ 4яптн / 2п \ 3 4пптн ^f ~]3/2 .. _ „ , „
(Оказывается удобным заменить здесь р на р + р; это допустимо, так как Mj используется лишь для оценок порядков величин, ¦606
Гл. 15. Космология; эталонная модель
Неустойчивость Лкустич. Неустойчивость колебания
\
V \ I
«е \ \
\ \ & SS
g \ \
>1 \ \ I
I I \ * 'ІІИ ' I
IOs IO6 IO7IO6 10s IOi IO3 10г 10 1
Ту, К
Фиг. 15.6 Масса Джинса как функция температуры излучения. Сплошная кривая проведена для а = =0,8-108, что соответствует TyQ = 2,7 К, P0 = 3-Ю-29 г/см3; пунктирная кривая проведена для о = 2,4-108, и соответственно 2,7 К, Ро=10-зо г/смЗ. Вертикальная прямая, изображающая резкий скачок значения массы Джинса, имеет на самом деле некоторый наклон, который в масштабе рисунка невозможно отобразить. Г-Галактика.
а р всегда меньше, чем р/3.) Можно получить хорошее представление об эволюции прото-галактических флуктуаций, прослеживая изменение Mj, вызванное расширением Вселенной (фиг. 15.6).
С момента аннигиляции е+ — є" (Т a IO10 К) до рекомбинации водорода (T »4000 К) можно в хорошем приближении рассматривать содержимое Вселенной как нерелятивистский ионизованный водород плюс электромагнитное излучение черного тела, находящиеся в тепловом равновесии при температуре Т. Поскольку энтропия фотонов ok очень велика, можно пренебречь давлением, тепловой энергией и энтропией вещества. Тогда полная плотность энергии, давление и удельная энтропия равны (без учета нейтрино, не взаимодействующих с веществом и излучением)
P = Шн + аТ1, (15.8.14) P = -^af41 (15.8.15)
AaT3
V=jSr- (15-8-16>
В адиабатическом возмущении энтропия о постоянна, т. е. п изменяется как Ts, и, следовательно,
бр — (Зит-н + AaTk) , (Aar4) «1.
Скорость звука поэтому равна § 8. Образование галактик
607
а масса Джинса (15.8.13)
Mj =-Г.-Tka -, (15.8.18)
или через массу Солнца
Mj = 9,06Mqo2 (1 + _3 • (15.8.19)
Как
только при Tu (? 4000 К водород рекомбинирует, давление излучения становится неэффективным и уравнения состояния теперь будут уравнениями для одноатомного идеального газа су = 5/3:
P = птн + ^-пкТ, (15.8.20)
р = пкТ. (15.8.21)
Скорость звука теперь имеет обычное значение:
^=T-Si-' (15-8-22)
а масса Джинса (15.8.13) равна
^ = 4(т)5/2(^)3/2"-1/здН-2. (15.8.23)
Сразу после рекомбинации температура вещества T равна температуре излучения, и, следовательно, T можно выразить через п
и удельную энтропию фотонов (15.8.16) и получить
=io2^va- (15-8-24>
Если в этот газ не поступает какая-либо дополнительная теплота, его температура будет падать как R~2 [см. (15.5.16)], и, поскольку п изменяется как R~s, масса Джинса Mj (15.8.23) будет убывать как R-3'2.
