Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вейнберг С. -> "Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности" -> 223

Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.

Вейнберг С. Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности — М.: Мир, 1975. — 695 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyaikosmologiya1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 217 218 219 220 221 222 < 223 > 224 225 226 227 228 229 .. 254 >> Следующая


hih Pi- Pu U1, щ, T1 ~ exp (iq-x) (15.10.37)

с постоянным волновым числом q. Так же как и в нерелятивистском случае, удобно разложить общее решение на нормальные моды. Теперь мы имеем моды трех различных типов.

Излучательные моды

Имеется простой класс решений, таких, что

0 = Kn = Qihu = Pi = Pi = Uxt = Ti1 = T1. (15.10.38)

Уравнения (15.10.30) — (15.10.34) при этом удовлетворяются тривиально, а уравнение (15.10.29) вместе с (15.1.20) дает

АЦ + ( + Ht,+ (^-4-?!) Hijsa 0.

(15.10.39)

Для очень больших волновых чисел можно найти общее ВКБ-ре-шение второго порядка

H1, ~i?exp[ \ (AlLsl_SnGr1) л]. (15.10.40)

При медленно меняющихся R и т] этот результат, справедливый в сопутствующей системе, можно переписать для почти евклидовой системы, умножив htj на масштабный множитель й-2. Таким образохм, выражение (15.10.40) соответствует плоской гравитационной волне вида (10.2.1), причем

e^ ~ 4"ехр ( —8jxG j Л dt) ,

Согласно (10.3.7), плотность энергии Tg0 этих гравитационных волн убывает как

т°° ~ i?"4 exp ( - 16яС J л dt) . (15.10.41)

Множитель й-4 как раз такой, какого следует ожидать для свободного расширения любой волны, соответствующей безмассовой частице [ср. (15.1.23)]. Второй множитель в (15.10.41) говорит о поглощении гравитационных волн в вязкой среде со скоростью 1287]

Г* = ІбяСт]. (15.10.42)

40—0788 ¦626

Гл. 15. Космология; эталонная модель

Обычно коэффициент Т] по порядку величины равен произведению плотности тепловой энергии на некоторое среднее время свободного пробега т, так что Tg самое большее порядка (/?)2т/7?2. Отсюда, коль скоро частота столкновений т-1 много больше относительной

скорости расширения R/R, то коэффициент затухания Tg много

меньше, чем R/R, и поэтому вязкость мало влияет па распространение гравитационной волны. Пренебрегая вязкостью и предполагая степенную зависимость R (t) от времени:

R (t) ~ tn, (15.10.43)

мы можем найти решение уравнения (15.10.39), справедливое для всех длин волн:

(15.10.44)

где J±v — обычная функция Бесселя порядка ±v и

V = I^i. (15.10.45)

[В эру преобладания вещества (15.10.43) выполняется при п = = 2/3, а в эру преобладания излучения — при п = 1/2.] В отличие от распространения электромагнитных волн в плазме теперь нет четкого нижнего предела частот, при которых может распространяться гравитационная волна; вместо этого при | q | t 4i R решения ведут себя как

Uij ~ t2n или г1"" (15.10.46)

и постепенно перерастают при | q | t R в волноподобные решения (15.10.40).

Вращательные моды

Есть также другой простой класс решений, в котором

O = Zihh = q-Uj = P1=P1 = U1 = T1. (15.10.47)

Теперь тривиально удовлетворяются уравнения (15.10.31), (15.10.33) и (15.10.34), а (15.10.32) становится уравнением для поперечной части U1:

(J- + 16nGri) [^5(P-I-P-Xr)U1]= -V?3q2Ui. (15.10.48)

Тогда уравнения (15.10.29) и (15.10.30) определяют гравитационное поле, созданное вращениями, которые определяются векто-DOM U1. Эти уравнения поля автоматически согласуются с (15.10.48). так как уравнения движения, из которых выведено уравнение (15.10.48), сами получены из уравнений поля. При J' 10. Общерелятивистская теория малых флуктуации,

627

пренебрежении давлением уравнение (15.10.48) дает зависимость U1 от времени:

(15.10.49)

которую можно рассматривать как релятивистское обобщение (в сопутствующих координатах) ньютоновского результата (15.9.22)

Моды сжатия

И на этот раз наиболее яркая зависимость от времени наблюдается у тех мод сжатия, которые не ограничены условием равенства нулю величин hhk, q -U1, ра, Jo1, T1, щ. Уравнения (15.10.31), (15.10.33) и (15.10.34) и дивергенция уравнения (15.10.32) приводят в этом случае к системе уравнений для этих величин:

Kk —Щ- hkh + 2 (^ - ) h^ = - 8nGR2 (Pi + 3Pi)' (15-10-50)

+ x[i7'q.U1 + -g-|-(^q.U1)-:g-Г,], (15.10.51) = (!5-10.52)

(± + l6nGr\) [iq.U1Hfi (P+p-%T) + m* [^T1- і ±. (i?2q • U1) JJ = = R^pi - r|i?3q2 q - U1 + f ± ( ) J . (15.10.53)

Если мы воспользуемся уравнением состояния для того, чтобы выразить P1 и P1 через пг и T1, то (15.10.50) — (15.10.53) можно рассматривать как четыре уравнения для четырех неизвестных ^hh, q-Ul5 Ii1 и T1. Читатель может сам убедиться, что из этих уравнений получается скорость затухания (15.8.30) для тех волновых чисел флуктуаций, которые много больше, чем предел Джинса, и при которых гравитацией и расширением Вселенной можно пренебречь. Кроме того, в нерелятивистском пределе без учета затухания эти уравнения сводятся к выведенным выше ньютоновским уравнениям (15.9.20) и (15.9.21), если положить

Строгое обсуждение нормальных мод, описываемых уравнениями (15.10.50) — (15.10.53), читатель может найти в обзоре Филда 1286]. Сейчас для наших целей достаточно рассмотреть лишь

40* ¦628

Гл. 15. Космология; эталонная модель

предельный случай весьма малых волновых чисел. В пределе q -> О все диссипативные эффекты исчезают; в самом деле, исключив hhh из (15.10.51) и (15.10.52), можно показать, что энтропия при этих возмущениях остается постоянной и, следовательно,
Предыдущая << 1 .. 217 218 219 220 221 222 < 223 > 224 225 226 227 228 229 .. 254 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed