Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
hih Pi- Pu U1, щ, T1 ~ exp (iq-x) (15.10.37)
с постоянным волновым числом q. Так же как и в нерелятивистском случае, удобно разложить общее решение на нормальные моды. Теперь мы имеем моды трех различных типов.
Излучательные моды
Имеется простой класс решений, таких, что
0 = Kn = Qihu = Pi = Pi = Uxt = Ti1 = T1. (15.10.38)
Уравнения (15.10.30) — (15.10.34) при этом удовлетворяются тривиально, а уравнение (15.10.29) вместе с (15.1.20) дает
АЦ + ( + Ht,+ (^-4-?!) Hijsa 0.
(15.10.39)
Для очень больших волновых чисел можно найти общее ВКБ-ре-шение второго порядка
H1, ~i?exp[ \ (AlLsl_SnGr1) л]. (15.10.40)
При медленно меняющихся R и т] этот результат, справедливый в сопутствующей системе, можно переписать для почти евклидовой системы, умножив htj на масштабный множитель й-2. Таким образохм, выражение (15.10.40) соответствует плоской гравитационной волне вида (10.2.1), причем
e^ ~ 4"ехр ( —8jxG j Л dt) ,
Согласно (10.3.7), плотность энергии Tg0 этих гравитационных волн убывает как
т°° ~ i?"4 exp ( - 16яС J л dt) . (15.10.41)
Множитель й-4 как раз такой, какого следует ожидать для свободного расширения любой волны, соответствующей безмассовой частице [ср. (15.1.23)]. Второй множитель в (15.10.41) говорит о поглощении гравитационных волн в вязкой среде со скоростью 1287]
Г* = ІбяСт]. (15.10.42)
40—0788¦626
Гл. 15. Космология; эталонная модель
Обычно коэффициент Т] по порядку величины равен произведению плотности тепловой энергии на некоторое среднее время свободного пробега т, так что Tg самое большее порядка (/?)2т/7?2. Отсюда, коль скоро частота столкновений т-1 много больше относительной
скорости расширения R/R, то коэффициент затухания Tg много
меньше, чем R/R, и поэтому вязкость мало влияет па распространение гравитационной волны. Пренебрегая вязкостью и предполагая степенную зависимость R (t) от времени:
R (t) ~ tn, (15.10.43)
мы можем найти решение уравнения (15.10.39), справедливое для всех длин волн:
(15.10.44)
где J±v — обычная функция Бесселя порядка ±v и
V = I^i. (15.10.45)
[В эру преобладания вещества (15.10.43) выполняется при п = = 2/3, а в эру преобладания излучения — при п = 1/2.] В отличие от распространения электромагнитных волн в плазме теперь нет четкого нижнего предела частот, при которых может распространяться гравитационная волна; вместо этого при | q | t 4i R решения ведут себя как
Uij ~ t2n или г1"" (15.10.46)
и постепенно перерастают при | q | t R в волноподобные решения (15.10.40).
Вращательные моды
Есть также другой простой класс решений, в котором
O = Zihh = q-Uj = P1=P1 = U1 = T1. (15.10.47)
Теперь тривиально удовлетворяются уравнения (15.10.31), (15.10.33) и (15.10.34), а (15.10.32) становится уравнением для поперечной части U1:
(J- + 16nGri) [^5(P-I-P-Xr)U1]= -V?3q2Ui. (15.10.48)
Тогда уравнения (15.10.29) и (15.10.30) определяют гравитационное поле, созданное вращениями, которые определяются векто-DOM U1. Эти уравнения поля автоматически согласуются с (15.10.48). так как уравнения движения, из которых выведено уравнение (15.10.48), сами получены из уравнений поля. ПриJ' 10. Общерелятивистская теория малых флуктуации,
627
пренебрежении давлением уравнение (15.10.48) дает зависимость U1 от времени:
(15.10.49)
которую можно рассматривать как релятивистское обобщение (в сопутствующих координатах) ньютоновского результата (15.9.22)
Моды сжатия
И на этот раз наиболее яркая зависимость от времени наблюдается у тех мод сжатия, которые не ограничены условием равенства нулю величин hhk, q -U1, ра, Jo1, T1, щ. Уравнения (15.10.31), (15.10.33) и (15.10.34) и дивергенция уравнения (15.10.32) приводят в этом случае к системе уравнений для этих величин:
Kk —Щ- hkh + 2 (^ - ) h^ = - 8nGR2 (Pi + 3Pi)' (15-10-50)
+ x[i7'q.U1 + -g-|-(^q.U1)-:g-Г,], (15.10.51) = (!5-10.52)
(± + l6nGr\) [iq.U1Hfi (P+p-%T) + m* [^T1- і ±. (i?2q • U1) JJ = = R^pi - r|i?3q2 q - U1 + f ± ( ) J . (15.10.53)
Если мы воспользуемся уравнением состояния для того, чтобы выразить P1 и P1 через пг и T1, то (15.10.50) — (15.10.53) можно рассматривать как четыре уравнения для четырех неизвестных ^hh, q-Ul5 Ii1 и T1. Читатель может сам убедиться, что из этих уравнений получается скорость затухания (15.8.30) для тех волновых чисел флуктуаций, которые много больше, чем предел Джинса, и при которых гравитацией и расширением Вселенной можно пренебречь. Кроме того, в нерелятивистском пределе без учета затухания эти уравнения сводятся к выведенным выше ньютоновским уравнениям (15.9.20) и (15.9.21), если положить
Строгое обсуждение нормальных мод, описываемых уравнениями (15.10.50) — (15.10.53), читатель может найти в обзоре Филда 1286]. Сейчас для наших целей достаточно рассмотреть лишь
40*¦628
Гл. 15. Космология; эталонная модель
предельный случай весьма малых волновых чисел. В пределе q -> О все диссипативные эффекты исчезают; в самом деле, исключив hhh из (15.10.51) и (15.10.52), можно показать, что энтропия при этих возмущениях остается постоянной и, следовательно,