Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
.AP (т)Ат~в exp (^) при иг-> оо, (15.11.5)
где А, В и Tm— неизвестные постоянные. В термодинамические величины будут всегда входить интегралы по J" (т) dm с весовыми множителями, ведущими себя как е~т,кТ при m -> оо, поэтому эти § 11. Очень Т) дккяя Вселенная
631
величины не будут сходиться, если функция распределения будет расти быстрее, чем (15.11.5); сходимости не будет даже при распределении (15.11.5), если T > Тм. Таким образом, модель идеальных газов с числом сортов, задаваемым выражением (15.11.5), характеризуется максимальной температурой Tm- Анализ рождения вторичных частиц в реакциях при очень высоких энергиях [288, 289] (см. также [290]) и предложенная недавно Венециано модель взаимодействия адронов [291—294] независимо приводят к числу сортов адронов, определяемому выражением (15.5.11) с В примерно от 2 до 4 и Tm около 1,7-IO12 К. Если отвлечься на время от мезонов, лептонов и фотонов, то полная плотность энергии, давление и плотность барионного числа определяются обычным распределением Ферми:
р==А-3 j JT (m) dm j d3pE {[^в-мтт + ij-i + [е<Е+ю/№+ ij-i^
(15.11.6)
р = 1й-з j jf (m) dm j ^?^{[6^-^ + 1]"1+[е(Е+й)/йт+1]-1},
(15.11.7)
n = h~3 j Jf H dm j d3p{[e<E-«/w+ i]-i_[e(E+n)/ftT+ Ij-IJj
(15.11.8)
где E = (p2 + m2)1/2 — энергия частицы, p — химический потенциал, ассоциированный с бариоиным числом. Безразмерная энтропия на один барион о" определяется вторым началом термодинамики как интеграл от полного дифференциала
откуда непосредственным интегрированием получаем
a = E±ipiL. (15.11.9)
При адиабатическом расширении р и р убывают, начиная с предположительно бесконечных значений, в то время как а должна оставаться постоянной. Единственная возможность для того, чтобы р и р могли стремиться к бесконечности, a Ctb в то же время оставалась постоянной, состоит в том, чтобы химический потенциал р становился бесконечным при стремлении T к некоторому конечному значению T1, меньшему, чем Tm- в этом пределе ¦632
Гл. 15. Космология; эталонная модель
интегралы (15.11.6) — (15.11.8) стремятся к значениям [295] г) P-»- А'еиП,ТмU^-nJfTl cosec X
\ і M /
(15.11.10)
р-+А'етт™у*1*-вкТхс osec (-?^) ' (15.11.11)
щ-^А'е^м^-BfcT11CoseC [^) X
(15.11.12)
где А' = (kTM)s/2 h~s (8л)_1/2 А. При этом энтропия (15.11.9) принимает значение
а = Щ— «ctg-g-. (15.11.13)
Поскольку энтропия ст очень велика, начальная температура T1 очень близка
к максимальной температуре 1м-
+ (15.11.14)
При конечном значении начальной температуры вклад мезонов, лептонов и фотонов в плотность энергии и давление в пределе t-*- 0 пренебрежимо мал по сравнению с барионным вкладом (15-11.10) и (15.11.11), что оправдывает пренебрежение всеми частицами, кроме барионов, в вышеприведенных вычислениях. Плотность барионного числа должна меняться как R'3, и поэтому из (15.11.12) и (15.11.10) следует, что при R -> 0
р -у ЗкТм I In R I (15.11.15)
и
Jira ~R-3 I In R |. (15.11.16)
Уравнение Эйнштейна (15.1.20) тогда имеет решение (при к = 0) вида [295-297]
і? ~ ^3 | In * |1/2 (15.11.17)
отличие от решения R ~ tlf2, которое ожидается в модели элементарных частиц.
Случай нулевой плотности барионного числа и В = 5/г рассмотрев Хагедорном [296]; см. также [2971. § 11. Очень Т) дккяя Вселенная
633
Как мы можем выяснить, какая из моделей очень ранней Вселенной лучше? В § 6 этой главы было показано, что большинство составляющих Вселенной было в тепловом равновесии при температуре выше IO12 К, так что современное содержимое Вселенной большей частью зависит только от значения энтропии на один барион и, возможно, от отношения лептонного числа к барионно-му числу в горячей ранней Вселенной. Чтобы узнать что-нибудь относительно эволюции Вселенной до того, как она остыла до IO12 К, нужно искать реликтовые частицы, которые могли выйти из теплового равновесия до падения температуры ниже IO12 К.
Одной возможной реликтовой частицей является кварк — гипотетическая фундаментальная частица сильных взаимодействий. Если кварки действительно могут существовать как свободные частицы, то по оценке Я. Б. Зельдовича [298] на основе того, что мы здесь называем моделью элементарных частиц, плотность остаточных кварков, избежавших слияния в нуклоны в ранней Вселенной, должна быть того же порядка, что и наблюдаемая сейчас плотность атомов золота. Усилия по обнаружению кварков в природе не увенчались успехом, из чего можно заключить, что либо свободных кварков не существует, либо температурная история очень ранней Вселенной сильно отличается от (15.11.14).
Другая, менее экзотическая реликтовая частица — гравитон. Из формулы (15.10.42) видно, что в неидеальной жидкости с вязкостью сдвига г) среднее время свободного пробега гравитона [287]
Tg = ІбяСт]-1. (15.11.18)
Если Tg ненамного больше времени расширения t, то перенос гравитонами импульса будет создавать в среде вязкость
л = 4" ^V (15.11.19)
Исключая ті из этих двух уравнений, получаем [268]
Xg= [^nGaTty1'2. (15.11.20)
