Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
к= +1
A =
к= -1
(1 —cos6)2 ' 1 — cos 0
sin 0
(1- -COS 0)2 '
: 0 f O+ ~ І2/3,
1 б- - г»,
3^ sh ? 5 + ch Ir
(chV—I)2 ' ch 1F-1
sh ?
(ch "F-I)'2
(15.9.27)
(15.9.28)
(15.9.29)
(15.9.30)
(15.9.31)
(15.9.32) ¦616
Гл. 15. Космология; эталонная модель
Во всех трех случаях решения 6+ и б_ при R (t) R0 стремятся соответственно к и t~x, так что, если вначале при рекомбинации возникает возмущение со сравнимыми модами 8+ и б_, то очень скоро оно будет иметь только моду б+. Поэтому далее будем рассматривать только эту моду.
Предположим теперь, что возмущение возникает в момент tR, соответствующий большому красному смещению:
Тогда начальные значения параметров 0, ( и T равны *я«м l + z*)-3/2 (A = O),
[
л,—
Относительные изменения плотности могут самое большее расти с коэффициентом усиления
<15-9-33>
который определяется выражениями
5(1 + ?) (1 —CosG0)3
X [ —390sine0-f (I-COsG0) (5-f-cosB0)] (к = +1),
(1+«я) (A = O), (15.9.34)
5(1+ «д)
(ChY0-I)S Л
X [ —3W0sh Y0+ (ch 4F0-I) (5+ch 1F0)] (к=-1).
С помощью (15.3.10) и (15.3.19) параметры B0 и 1F0 можно выразить через q0. Тогда становится ясно, что при q0 > О A (q0) — монотонно растущая функция, принимающая значения A0 ^bq0 (1 -f- zR) при q0 < V2, A0 = і + zR при q0 = V2, A0 = 1,45 (1 + zR) при q0 = 1 и стремящаяся к верхнему пределу A0 = 5 (1 + zR) при ^0 > 1. Если 0,014 С ?« < 2 и 1 -f Zs = 1500, то коэффициент усиления A0 малых флуктуаций от момента рекомбинации до настоящего времени должен иметь значения от 100 до 3000.
Сгущения, наблюдаемые в современной Вселенной, нельзя рассматривать как «малые возмущения». Например, плотность внутри типичного скопления галактик порядка IO-28 г/см8, что § 9. Ньютоновская теория малых флуктуации.
617
на порядок больше максимального правдоподобного значения плотности Вселенной как целого, а плотность в пределах самих галактик, естественно, даже больше. Поэтому простая линейная теория неустойчивости, описанная выше, неприменима к полной истории неоднородностей вплоть до настоящего времени. Однако представляется разумным предположить, что нынешние сильные сгущения выросли из малых возмущений, так что необходимое (если и не достаточное) условие их образования состоит в том, чтобы возмущение 6+ (і!), вычисленное в рамках линейной теории устойчивости, было порядка единицы в некоторый момент в прошлом. Отсюда возникает ограничение снизу на величину начального возмущения в момент рекомбинации:
так что величина | 6+ (tR) | должна быть больше чем IO"2—3 -IO4 в зависимости от значения q0, чтобы сказать, насколько больше, необходимо знать момент, в который возмущение подходит к началу нелинейного режима, т. е. когда | 6+ (t) | «1. По Вейману (цитируется в [286]), из наблюдаемых энергий связи галактик следует, что этому отвечает время порядка 7 -IO7 лет; но если бы величина 8+ (t) достигла единицы столь рано, то она была бы очень велика уже в момент рекомбинации. С другой стороны, если концентрация красных смещений квазаров около z « 2 указывает на начало образования галактик, то (15.9.35) дает вполне разумную оценку для действительного значения I 6+ (tR) I . Как это было отмечено в конце предыдущего параграфа, протогалактические флуктуации в момент рекомбинации могли бы вызвать относительные флуктуации в наблюдаемой температуре микроволнового фона, равные I 6+ (tR) I /3 в пределах углов порядка 30", если только томсоновское рассеяние во время или после рекомбинации не сглаживает эти флуктуации [2821. Отношение ATyZTy было бы порядка 3 -IO"3—IO-4, т. е. его можно было бы измерить, даже если нелинейный режим установился недавно.
Б. Решения в случае нулевой кривизны. Интересно также рассмотреть, как будут вести себя решения уравнения (15.9.23), если в нем не пренебрегать давлением vs2q2/R2. В частности, это нужно для установления точной границы между устойчивыми и неустойчивыми флуктуациями. В этом случае, чтобы получить точные решения, следует ограничиться ранним периодом, когда
R (t) < R0, так что члены (R)2 и 8npGR2/3 в (15.9.4) много больше единицы, и поэтому, даже если k = ±1, в формулах для R и р можно положить А = 0:
1
(15.9.35)
R ~ t2'a, р = (блЄі2)-1.
(15.9.36)
(15.9.37) ¦618
Гл. 15. Космология; эталонная модель
(Здесь нет чрезмерного упрощения, поскольку для более поздних времен, когда эти формулы неверны, масса Джинса столь мала, что ее точное значение не представляет большого интереса.) При произвольном отношении ТЄПЛОЄМКОСТЄЙ Y давление изменяется как р^, а скорость звука
Vs = (jA)172 ~ Pv^ ~ tl-у. (15.9.38)
Исходя из этого, уравнение (15.9.23) можно записать в виде
где A2 — постоянная:
,2(7-1)/3.. 2„2 „ „
A2 = --Д2 s q . (15.9.40)
Решениями уравнения (15.9.39) при у >4/3 являются
Si-^-VeZip5v76 (-^) , (15.9.41)
где J — обычная функция Бесселя и
4 3
V= у-А >0. (15.9.42)
Функции Бесселя при t A1/v осциллируют, в то время как при t A1/v ведут себя как
б± ~ iC-V6)±(Va). (15.9.43)
