Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Открытие пульсаров дало нам более перспективный источник гравитационного излучения. В § 4 гл. И читатель найдет обсуждение возможности того, что пульсары являются нейтронными звездами [4], масса которых порядка массы Солнца, радиус ~10 км и, следовательно, момент инерции / имеет порядок IO45 г -см2. Родившийся от сверхновой пульсар может вращаться с частотой Q порядка IO1 с-1 и поэтому, согласно формуле (10.5.22),
х) Обратное действие излучения рассмотрено в [3]. § 6. Рассеяние и поглощение гравитационного излучения
295
должен излучать гравитационные волны с интенсивностью Ю55е2 эрг/с. Для сравнения заметим, что полная энергия вращения пульсара составляла бы около IO53 эрг, и поэтому большая часть кинетической энергии пульсара излучалась бы в течение нескольких лет в виде гравитационных волн *) при том условии, что экваториальный эксцентриситет е был бы не менее 10~4. В действительности это слишком большое значёние для статического эксцентриситета, чтобы он мог сохраняться в огромном гравитационном поле нейтронной звезды, но это значение, вероятно, возникает за счет динамических эффектов. В частности, это может осуществляться в ранний период, до того как пульсар приобретает устойчивую равновесную конфигурацию. В конце концов пульсар замедлится настолько, что другие механизмы потерь, такие, как магнитное дипольное излучение (для которого P ~й4), станут более важными, чем гравитационное излучение.
§ 6. Рассеяние и поглощение гравитационного излучения
Рассмотрим плоскую гравитационную волну с поляризацией e?V и волновым вектором которая падает на мишень, находящуюся в начале координат. На большом расстоянии от мишени гравитационная волна будет в общем случае состоять из плоской волны и расходящейся волны (см., например, [7]):
Г ~ Piar T
Kv (X, t) —[ е^еік •х + /nv (х) -^7-J е~ш, (10.6.1)
где г = I X I, X= х/г, со == I k I и /uv — амплитуда рассеяния, которая может зависеть от х и со, но не от г или t.
Чтобы исследовать энергетический баланс между гравитационной волной и мишенью, необходимо разложить волну (10.6.1) на сходящуюся и расходящуюся волны. Плоскую волну в (10.6.1) можно разложить по полиномам Лежандра [81:
OO
eik.x= 2 (2Z+1) P1 (к-І) I1Jl(Wr).
і=о
Здесь Ji — сферические функции Бесселя порядка I (см. [8]). Поскольку существует асимптотическое соотношение (см. [8])
ilU (юг) [е*г- ( - I)1 е-*»'],
J) Постепенное замедление пульсаров за счет обратного действия гравитационного излучения рассматривалось в работах [5, 6]. 296
Гл. 10. Гравитационное излучение
суммы по I можно рассматривать как разложения дельта-функций по полиномам Лежандра *):
+ (ц) = 26(1-ц),
і
S (2/ + 1)(-1)1 P1 (|i) = 26 (1 + ц). і
Следовательно, на асимптотически больших расстояниях плоская волна представляется в виде расходящейся и сходящейся волн
^іозг „ „ „-іюг „ „
eik-x--> — 6(1 — к. х)— А-6(1 + к-х).
г-юо leu г v ' гсог 4 '
Тогда гравитационная волна (10.6.1) имеет следующее представление:
Zillv —-> [^,fixCifflr-J- Сдv0He-ifflrI C-ifflM-K. С. (10.6.2)
где
e^cx W = 1ST ^6 (! - к • X) + io'/nv (х)], (10.6.3) e?v0K (х) = —^r e^vS (1 + к - і). (10.6.4)
Следуя тем же соображениям, что и в § 4 этой главы, можно вычислить полную мощность, уносимую расходящейся волной из сферы большого радиуса г, с помощью формулы
^pacx = j dQ (Ccx)XiJ*, (10.6.5)
гДе (ірасх) — средний поток энергии, записанный в виде (10.3.5), но с заменой на Усреднение проводится по пространствен-но-временным областям, размеры которых велики по сравнению с 1/со и малы по сравнению с г. Из выражения (10.6.3) следует, что Ppacx должно состоять из трех слагаемых:
^pacx = Ppacc "f" Pинтерф ~Ь Pпл. в» (10.6.6)
которые возникают от собственно /uv, интерференции между Zuv и eRv и от самого e?V соответственно. Первый член, представляющий полную мощность, отклоненную от первоначального направления, можно вычислить, подставляя (10.3.5) в (10.6.5) и заменяя euv на f?V/r:
Ppacc = -^J du [fXv*Cx)fXv&-4-І А (І)Р]. (10.6.7)
х) Эти формулы можно проверить, умножая их на Pi (д) и интегрируя по fx. Нужные для этого формулы интегрирования приведены, например, в § 14 книги JI. Шиффа [7]. § 6. Рассеяние и поглощение гравитационного излучения
297
Интерференционный член вычисляется аналогичным образом: Pинтерф = -gsg-Re { — j dQO (1 - к.х) X
x[e^*hv (i)-i-eV/Vv(i)]}.
Проинтегрировав по аргументу дельта-фу"нкции, получим РИНТерф в виде
^интерф — — -щ Im (k)-±-е\*}\ (к) } . (10.6.8)
Последний член в (10.6.6), представляющий собой мощность, уносимую из сферы плоской волной, формально становится бесконечным при г ^y оо. Однако плоская волна уносит из любого объема столько же энергии, сколько и вносит в него, и поэтому энергия, приносимая в сферу радиусом г падающей волной (10.6.4), в точности равна третьему слагаемому в (10.6.6)
Лхо„ = Лш.в. (10.6.9)
Таким образом, величина Fjjjii в исключается из уравнения сохранения энергии, и выражение для мощности, поглощенной мишенью, выглядит так:
