Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Полную излучаемую при столкновениях гравитационную энергию, приходящуюся на единицу частоты, можно получить, интегрируя выражение (10.4.22) по направлению вектора к. Получаем следующий результат:
(10'4'23)
тДе ?iVM — относительная скорость частиц NnM- записывается так:
mNmM HVa
R — Г Л т"тМ 1
Piw = Li- (JV.P*)» J
Для нерелятивистского двухчастичного упругого рассеяния формула (10.4.23) принимает следующий вид:
-S = -S-^4sin20' (10.4.24) 286
Гл. 10. Гравитационное излучение
где р — приведенная масса, v — относительная скорость, 0 — угол рассеяния в системе центра масс.
Гравитационное излучение, порожденное столкновениями, происходящими в газе, можно вычислить, суммируя радиационную энергию отдельных столкновений, задаваемую уравнениями (10.4.23) или (10.4.24), если столкновения достаточно разделены во времени, чтобы не было интерференции между отдельными актами. Условие отсутствия интерференции можно записать так:
со > сос, (10.4.25)
где COc есть частота тепловых столкновений частиц газа. (Если со сос, то газ ведет себя как жидкость, а не как совокупность независимых частиц.) Если выполняется (10.4.25), мощность, приходящаяся на единицу объема и частоты, равна
= 2 VbWb <®Ь j ^ sin*0 да), (10.4.26)
(а, Ь)
где па есть плотность числа частиц типа а в газе, CloaJdQ — дифференциальное сечение рассеяния в системе центра масс; суммирование идет по всем типам пар частиц, а усреднение (....) проводится по всем столкновениям.
Для примера вычислим гравитационное излучение, возникающее при кулоновских столкновениях в плазме. Резерфордовское сечение рассеяния равно
daCib__ са %Ь2__МП / O7Y
dQ - 4<b^bsinM0/2) • l /
Интеграл по 0 должен быть обрезан снизу минимальным значением угла 1/Л, где Л ^>1 определяется дебаевской экранировкой кулоновских сил при больших параметрах столкновений. В этом случае имеем
d°ab Sin2O^Q » 4jteaY ІП4Л. (10.4.28)
j
dQ Р-аЪ^аЪ'
Вышло среднее значение иаЪ, которое для распределения Максвелла — Больцмана равно
ы-ЧЯгГ <10А29>
Подставив (10.4.28) и (10.4.29) в (10.4.26), получим (в системе СГС) мощность излучения на единицу объема и частоты:
dP = 646 / 2кТ \ Уз ] n А у папъе^еъ2 (10 4 30)
dco 5с5 V я } ^ V^ab
Обычно In Л есть величина порядка 10. Для полностью ионизированной плазмы водорода необходимо учесть электрон-электрон- § 5. К вадруполъное излучение 287
ные и электрон-протонные столкновения, и тогда (10.4.30) дает dP 64071,?4 / 2kT \V2,
dco 5 с®
Щг) /2(1+У2)1пЛ. (10.4.31)
Частоту электронных столкновений можно в этом случае оценить следующим образом:
-STTT=- (10-4-32)
Уравнения (10.4.30) и (10.4.31) справедливы, если со ^ шс и и Йсо < кТ.
Эти результаты можно применить к водородной плазме в ядре Солнца. Внутри объема 2 -IO31 см3 эта плазма характеризуется следующими параметрами: T a; IO7 К, пе a; 3-IO25 см-3 и Л » яг; 4. Частота столкновений, определяемая (10.4.32), равна IO16 с-1, что на три порядка меньше, чем тепловая частота кТІН » « IO18 с-1. Поэтому полную энергию гравитационного излучения можно оценить, умножая (10.4.31) на VkTIh. Поступая таким образом, найдем, что тепловые столкновения в ядре Солнца порождают гравитационное излучение мощностью около IO8 Вт.
§ 5. Квадруполъное излучение
До сих пор мы не делали никаких приближений, кроме того, основного, что поля слабые. (Использованные нами приближения волновой зоны г >Л, r^>l/co, r^xoR2 существенными не были, поскольку мы всегда выбирали достаточно большие г и эти ограничения выполнялись автоматически. Далее, так как энергия сохраняется, то интенсивность излучения, пронизывающего сферу большого радиуса г, равна интенсивности излучения череа любую замкнутую поверхность, ограничивающую излучающую-систему.) Теперь сделаем еще одно приближение, предположив, что радиус источника R много меньше, чем длина волны 1/со:
соЛ < 1. (10.5.1)
Большая часть радиации излучается на частотах порядка vlRy где V — некоторая характерная скорость внутри системы, так что в действительности мы ввели приближение того же типа, что и приближение V 1, сделанное в предыдущей главе.
Если справедливо условие (10.5.1), то фурье-образы, содержащиеся в соотношениях (10.4.14) и (10.4.16), можно приближенно представить в виде не зависящего от к интеграла:
Тц (к, со)« j VxTll (х, со).
(10.5.2) 288
Гл. 10. Гравитационное излучение
Использовав законы сохранения, перепишем это выражение в форме
~ _ Tij (х, со) = —со2?100 (х, со).
дхі дхі
Умножив последнее на X1X? и интегрируя по х, находим
Tij (К со) Щ.Du (а), (10.5.3;
Dlj (со) = j d3xxlх?Т00 (X, <а). (10.5.4
Следовательно, мощность излучения в единичный телесный угол равна
Ж = W И Dlm И- (10.5.5)
Если источник можно описать суммой фурье-компонент, то мощность излучения есть сумма членов типа (10.5.5). Если же источник представляется интегралом Фурье вида (10.4.1), то энергия, излучаемая в единицу телесного угла, равна
dE
OO
Y GAu, ш (ft) j И Dlm (СО) Jco. (10.5.6)
