Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
= (10.2.17)
имеет спиралъностъ Zi. Итак, видно, что гравитационную плоскую волну можно разложить на следующие компоненты: е±, обладающие спиральностыо ±2, /± со спиральностью ±1, а также е00 и е33 с нулевой спиральностью. Однако нетрудно убедиться в том, что компоненты со спиральностью 0 и ±1 можно обратить в нуль подходящим выбором системы координат, и поэтому физический смысл имеют лишь компоненты со спиральностью ±2.
Обратимся еще раз к полезной аналогии с электродинамикой. Уравнения Максвелла в лоренцевой калибровке имеют вид (2.7.12) и (2.7.13); в пустом пространстве эти уравнения приобретают вид, аналогичный уравнениям (10.1.13) и (10.1.14):
г)Аа
?И, = о, ^L=O
для метрики, записанной в гармонических координатах. (Сейчас мы Имеем дело с инерциальной системой координат, а потому § 2. Плоские волны
277
? 3 = т]OiIdxa дх§.) Так же как для уравнений (10.2.1) — (10.2.3), решение данных уравнений можно записать в виде плоской волны:
Aa = еа exp (ik?X$) + еа exp (— ikpxV),
где
k<%k = Oj
Xaea = 0.
Вообще говоря, ea имел бы четыре независимые компоненты, но условие каеа понижает число независимых компонент до трех, так же как условие (10.2.3) сводит к шести число независимых компонент env. Далее, не меняя физических полей E и В и не отказываясь от лоренцевой калибровки, можно аналогично (10.1.8) и (10.2.5) изменить Aa путем калибровочного преобразования:
А -+А'-А 4- —
Aa-^Aa-Aa-f- ^ ,
Ф (х) = іє exp (ik?zP) — їє* exp (— ik?z?).
По аналогии с (10.2.6) и (10.2.7) новый потенциал можно также записать в виде
Aa = е'а exp (i&?z?) + е'а exp ( — ik?X^) ,
єа — єа ¦ вкав
Параметр є — произвольный, так что из трех алгебраически независимых компонент еа только две (3 — 1) имеют физический смысл, точно так же как общая ковариантность оставляет физический смысл только двум из шести независимых компонент. Чтобы выделить эти две компоненты еа, рассмотрим распространяющуюся вдоль оси Z волну с вектором ка, задаваемым соотношениями (10.2.8). Тогда из условия каеа = 0 следует равенство
ео = е3,
аналогично тому как условие (10.2.3) позволяет выразить еа2 и еоі через остальные шесть компонент eMV. Далее, рассматриваемое калибровочное преобразование оставляет инвариантным и и е2, но заменяет е3 на
е'3 = е3 — ек.
Следовательно, выбирая є = е31к, можно обратить е'3 в нуль, а потому только ег и ег обладают физическим смыслом. Точно так же, только еп и е12 нельзя обратить в нуль никаким преобразованием координат. И наконец, физический смысл рассматриваемых Двух компонент можно найти, подвергая вращению (10.2.10) 278
Гл. 10. Гравитационное излучение
плоскую электромагнитную волну. Вектор поляризации при этом изменяется следующим образом:
е'а = RJ"^,
а потому
е'± = ехр (+ Ю) е±,
^ = eS,
где
е± = Єї + іе2.
Таким образом, электромагнитные волны можно разложить на составляющие со спиральностью ±1 и 0. Однако физический смысл есть только у компонент со спиральностью ±1, а не 0, так же как гравитационные волны могут иметь спиральность ±2, но не ±1 или 0. Все это и имеется в виду, когда мы, пользуясь классическим языком, говорим, что электромагнитные и гравитационные возмущения переносятся волнами со спином 1 и 2 соответственно.
§ 3. Энергия и импульс плоских волн
Физический смысл плоско-волнового решения (10.2.1) становится сразу ясным, если вычислить энергию и импульс, переносимые волной. Согласно выражению (7.6.4), гравитационный тензор энергии-импульса с точностью до членов порядка Zi2 задается следующим образом:
K^'Bi^ + ± + - і- т^Д*»] ,
где iC — член разложения тензора Риччи порядка N по Hliv. Метрика = T]uv + ^nv удовлетворяет уравнениям Эйнштейна первого порядка R^v = 0, так что в t^v можно опустить эти члены и использовать следующую форму:
^v«- 4- %v V-pM^]. (10.3.1)
[В случае реальной метрики в нуль обращается Rtiv, а не и определяется только членами первого порядка в выражении (7.6.4). Здесь используется тем не менее а не Rliv, который равен нулю, поскольку guv = tjmv + Zitiv удовлетворяет уравнениям Эйнштейна первого порядка, а не точным уравнениям. Различия возникают только в порядке Zi3.] Чтобы вычислить R'ixv, надо подставить выражение (10.2.1) в (7.6.15); результат оказывается очень громоздким, но его можно упростить, усредняя по области пространства-времени, много большей чем | к |-1. § 3. Энергия и импульс плоских волн
279
(Это обычный способ вычисления энергии и импульса любой волны.) Усреднение обращает в нуль все члены, пропорциональные exp (zt^ik^x^), оставляя только перекрестные члены, не зависящие от xv-'.
(Itfl) = Re [kyhfiKp - M^vp -
— Kkpeill -f к%кре^\ + [eVx —e^fcP] X X lVpv + MV — APeM.v] —
--2 IaVpv + Kepx — kp?Kv]* X
X [к1VV + Vpx-bPe\]}. (10.3.2)
Пока еще не использованы условия (10.2.2) и (10.2.3), отвечающие гармоническим координатам. Поэтому на какое-то время откажемся от системы гармонических координат и прибавим к Amv (х) следующий член:
і (Qp?v + <?ven) exp (igixx) — і (qILe* + qve*) exp (—iqxxx), (10.3.3)
