Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
dQ
O
Коэффициенты D і j (со) в (10.5.5) и (10.5.6) не зависят от направления излучения ft, поэтому можно раз и навсегда проинтегрировать по телесному углу. Используем следующие формулы:
j dukikj = -^- Sii, j dQkikjkikm —-jg-(SiiSlm +biibjm + SimSji).
(Вид правой части обусловлен симметрией и инвариантностью относительно вращения; численные коэффициенты можно вычислить, сворачивая і с /, а I с тп.) Тогда находим
І 2л
dQAij, lm (ft) = -Jg- [116;;o,m — 46IjSjm + oim6j7],
ті мощность излучения с некоторой дискретной частотой ю равна
P = [Dti (со) Dij (со) —1-| Dii (со) р] , (10.5.7)
а при непрерывном распределении частот полная излучаемая анергия запишется в виде
OO
E = j со« [щ (co) Dlj (со) —I-I-Dfi H I2] А». (Ю.5.8) § 5. К вадруполъное излучение
289
Прежде чем перейти к вычислению квадрупольного излучения, рождающегося в некоторых особых случаях, необходимо сделать несколько замечаний о методе вычислений.
А. Квадруполъное приближение применяют обычно к нерелятивистским системам, а для таких систем плотность энергии Г00 (х, со) приближенно равна плотности массы покоя этой системы. Возможно, покажется неожиданным, что нет никакой необходимости явно учитывать в полном тензоре Ttiv члены с потенциальной и кинетической энергией, хотя если считать тензор T^v сохраняющимся, то эти члены необходимо включить. Действительно, для системы частиц, связанных гравитационными силами, необходимо в принципе выбирать T^v как полный «тензор» Tllv, построенный в § 6 гл. 7 и содержащий члены, нелинейные по полю. Однако, поскольку мы уже использовали при выводе уравнений (10.5.3) — (10.5.6) условия сохранения энергии и импульса и это дало результат, содержащий только T00, можно аппроксимировать T00 плотностью массы покоя.
Б. Для произвольных систем колеблющихся и (или) вращающихся твердых тел часто очень трудно вычислить фурье-образ тензора Г00 (х, со), определяемый соотношениями (10.4.1) или (10.4.2). Намного легче вычислить сначала моменты
Dij (t) = j (IsXXiXiT00 (х, t), (10.5.9)
а затем Dij (со), записывая Dij (t) в виде интеграла Фурье
OO
Dij (t) = j CtoDiJ (а)е~ш + к. с. (10.5.10) о
или в виде суммы компонент Фурье
DiJ (t) = S e~«*Dt} (со) + к. с. (10.5.11)
и
В. Может возникнуть вопрос: что принять за начало координат X1 в интеграле (10.5.4) для DiJ? В принципе это не существенно. При смещении начала координат на величину at, мы заменяем тензор DiJ следующим тензором:
J {хі-аі)(хі-аі)Т00(х, t)d3x =
= j XiXiT00 (х, t) d3x — a1 J ot?T00 (х, t) d3x-
— а} J XiT00 {х, $(Рх + а1а} J Г00(х, t)
Но законы сохранения энергии и импульса требуют, чтобы последние три члена этого выражения были самое большее линейными
19—0788 290
Гл. 10. Гравитационное излучение
функциями времени, потому ЧТО
J- J T00 (х, t)d3x = - j -?r Tio (х, t) d3x = 0,
-Jl [ XiTao (х, t)d3x= [ Xі 92 „ Tih (х, t)d3x= ^2 J v ' J 9x3 ox* '
= - ( -J-Tii (x, t)d3x = 0. J dx?
Таким образом, смещение начала координат не приводит к изме нению фурье-компонент с со -ф 0, т. е.
Dij (со) E= j XiXiT00 (х, со) d3z =
= j (я* — а1) (х? — a5) T00 (х, u)d3x. (10.5.12;
Однако только тогда, когда T00 — плотность энергии всей системы, при вычислении DiJ (со) можно свободно смещать начале координат.
Вычислим в качестве первого примера гравитационное излучение, порождаемое звуковыми волнами, распространяющимися в трубе, вытянутой вдоль оси z. Плотность колеблющегося веществе запишем так:
P = Po + Pl-
Здесь ро — постоянная невозмущенная величина, a P1 — малое возмущение. Скорость вещества v (в направлении z) будем рассматривать также как малое возмущение и, кроме того, пренебрежем диссипативными эффектами. Тогда уравнения движения примут вид
•fc+fc-s- 0.
где Vs — скорость звука. Труба не поддерживается на концах (иначе нам необходимо было бы учитывать и гравитационное излучение от опоры!), поэтому давление ^lp1 на концах трубы обращается в нуль. При таких граничных условиях общее решение уравнений для трубы, занимающей вдоль оси z отрезок от z = 0 до z = L, есть суперпозиция нормальных колебаний
V = -EVa cos Jcz sin (со* + ф), (10.5.13)
P1 = єро sin Jcz cos (соt + ф), (10.5.14) § 5. К вадруполъное излучение
291
где е — малое безразмерное число, ф — произвольная фаза, а к и со равны
k = N~, U = Nn^, (10.5.15)
где N — любое положительное целое число. Так как на концах трубы V не обязательно обращается в нуль, то концы могут в общем случае смещаться на величины б (0, t) ц б (L, t), определяемые формулой
б (z, t)=E j V (z, t) dt = EVgdTi cos kz COS (соt + ф).
Зависящая от времени часть второго момента плотности массы задается в виде
l
Dij («) = TiiTijA ( j Pl (z t)z2dz + L2р0б (L, t)) , о
где А — площадь поперечного сечения трубы, а в = (0, 0, 1) — единичный вектор в направлении z. Для четных N величина Dij (t) равна нулю, а для нечетных N она равняется
/ AniKjML2e \
Dil(t)= — [-да-) cos И +Ф)>
где M = po-4-L — масса трубы [легко убедиться, что второй момент от распределения массы Dtj (t) останется тем же, если при его вычислении начало координат выбрать не в точке г = 0]. Сравнивая это выражение с (10.5.11), видим, что Dij (t) имеет фурье-компоненту, равную
