Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
^погл= ^*вход P расх — Ppacc ^интерф- (10.6.10)
Поток энергии падающей волны записывается с помощью выражения (10.3.5), а именно
0^(0^=^-(6^--11^12). (10.6.11)
Поэтому эффективное сечение упругого рассеяния гравитационной волны имеет вид
р*
[>4v-4- l*Vv I2J
°расс = TjT ~ --TTT-Т~~.—і-(Ю.6.12)
Эту величину нужно отличать от полного сечения рассеяния или поглощения волны
Ополи- РраГСфРп0ГЛ ¦ (10.6.13)
Согласно (10.6.10), полное сечение можно найти, вычисляя интерференцию между падающей и рассеянной волнами:
(10.6.14) 298
Гл. 10. Гравитационное излучение
С помощью (10.6.8) и (10.6.11) получаем
4я Im { (к) —L e\*/vv (к) }
<Wh =-Ц-г-V-(10.6.15)
Этот результат, утверждающий, что полное сечение рассеяния равно мнимой части амплитуды рассеяния вперед, умноженной на 4я/м, был впервые получен в классической электродинамике [9, 10] и известен как оптическая теорема. Как здесь, так и в электродинамике этот результат есть следствие сохранения энергии, в то время как в квантовой механике аналогичная теорема следует из условия сохранения вероятности [11, 12].
Поскольку падающая волна слабая, то амплитуда рассеяния fxv есть линейная комбинация из компонент первоначального поляризационного тензора ера. Отсюда следует, что сечения (10.6.12) и (10.6.15) не зависят от нормировки eRV, хотя они могут зависеть от к и от вида тензора поляризации. Цель теории гравитационного рассеяния — вычислить f-hv, далее по формулам (10.6.12) и (10.6.15) можно уже определять всевозможные сечения.
§ 7. Детектирование гравитационного излучения
Эксперименты, целью которых было обнаружение гравитационного излучения, были проведены Вебером в шестидесятых годах [1, 26, 27], а в настоящее время такие эксперименты ставятся в лабораториях всего мира. В большинстве экспериментов используется резонансная квадруполъная антенна, роль которой может играть любая «малая» механическая или гидродинамическая система с естественной модой свободных колебаний. Оказывается так, что эффективное сечение такой антенны можно оценить, используя только оптическую теорему, выведенную нами в предыдущем параграфе, не вникая во взаимодействие между гравитационной волной и антенной.
Предположим прежде всего, что антенна много меньше длины волны 2л/м и потому рассеянная гравитационная волна есть чисто квадрупольное излучение. Исходя из тех же соображений, которые привели нас ранее к формулам (10.4.10), (10.4.12), (10.5.3) и (10.5.4), можно заключить, что амплитуда рассеяния в выражении (10.6.1) имеет вид
Ziav (х> = ^v (X) —J-Tbiv^ (х), (10.7.1)
где iuv — тензор, пропорциональный фурье-образу вызываемого волной возмущения в Tjiv. Сохранение энергии-импульса приводит, как и раньше, к соотношениям
toi (х) =—xjtjki 'оо (х):= XiXjtiJ, (10.7.2) § 7. Детектирование гравитационного излучения
299
где ttj не зависит от х, но, конечно, зависит от со, eMV и от детального механизма взаимодействия антенны и падающей волны. В системе координат, в которой начальный вектор распространения к направлен, по третьей оси, а калибровка такова, что единственными неисчезающими элементами тензора поляризации являются еп = —е.22 и е12 = е21, полное сечение (10.6.15) принимает вид
_ 2л Im {е* (t„—t^) + 2esj%tn\ ЦП 7 Ч\
0ПОЛН~ «»[!«ііі' + І'иіЧ [ '
Далее, тем же методом, что и в § 5 этой главы, можно вычислить интеграл по углам в (10.6.12) и получить следующую формулу для сечения упругого рассеяния:
. , ..... 1 4 л
Г з-ИнН
13 J (10.7.4)
5[|eii|a+|e«N
Предположим теперь, что рассеяние резонансное, т. е. что частота со падающей волны близка к собственной ЧаСТОТе COq свооодных колебаний системы, образующей антенну. Можно считать, что падающая волна служит просто возбудителем этих свободных колебаний, которые теряют затем энергию, излучая гравитационные волны или другими путями, что отвечает упругому рассеянию и поглощению соответственно.
Отсюда, в частности, следует, что отношение сечения упругого рассеяния к полному сечению равно просто доле энергии т] свободных колебаний, рассеивающейся в виде гравитационного излучения (т. е. энергии, которая не превращается в теплоту, в свет и т. п.)
0расо = 110поля, (10.7.5)
где
Г грав
rI — —р—•
Здесь Г — полная скорость затухания свободных колебаний, а Гграв — скорость затухания вследствие гравитационного излучения. Поскольку ті есть параметр, характеризующий свободные колебания антенны и не связанный с тем, каким образом эти колебания возбуждаются, то он не зависит от eMV.
Другое следствие предположения о резонансном механизме рассеяния — это то, что вид матрицы Iii определяется некоторой постоянной матрицей пц, зависящей только от геометрических свойств возбуждаемых колебаний, т. е. t^ должно быть равно пц, умноженной на некоторую функцию от компонент тензора поляризации еп и е12. Так как поле падающей волны по предположению слабое, эта функция должна быть линейной и, следовательно, 300
Гл. 10. Гравитационное излучение
должна иметь вид
tti = пи (аеп + ?e12), (10.7.6)
