Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
где Tiij, а и ? не зависят от еп и е12. Например, если антенна обладает аксиальной симметрией относительно некоторого направления п, то пц есть линейная комбинация 8ц и TiiTij. Член, пропорциональный SiJ, гге дает вклада в (10.7.3) или в (10.7.4), а потому в данном случае имеем
Tilj = TiiTij. (10.7.7)
Два требования, (10.7.5) и (10.7.6), налагают сильные ограничения на амплитуду рассеяния. Подставив (10.7.3), (10.7.4) и (10.7.6) в (10.7.5), находим
^j- Im {[е*4 (пн — щ2) + 2e*2ni2] Iae11 + ?e12]} =
= -j-1 аеи + ?ei2 I2 [«*,«!/ — -у I Tiiі j2 J.
Это соотношение должно выполняться при любых еJlv; поэтому, приравняв коэффициенты при | еи |2, е^еі2 и | C12 I , получим
1 1 J5-JJ Im {(«u - w22) a} = 2<я>р {(пи - w22) ? — 2п*2а*} =
I?
Решение этих уравнений имеет вид
("*i — п*г)
Im {n12?} = [n$nw —1 Titi I2 ] .
а =
2ш [ Bf^y-І- |л„|»] '
P = -
5 Tigwf2
-g-In" Iа]
где g — комплексное число с мнимой частью, равной
Im g = \g I2. (10.7.8)
Тогда амплитуда рассеяния (10.7.6) запишется так:
_ 5gT)ttf7- [(и* — и*а) ем + 2re*,g)2] Ггу— р 7 j . (1 U.I.J)
^fmBim--3-І ^ I2J
Отметим, что ijj здесь зависит только от вида матрицы TiiJ, но не от ее нормировки.
И наконец, последнее следствие предположения о резонансном рассеянии состоит в том, что частотная зависимость амплитуды рассеяния ttj задается фурье-образом функции, временная зависи- § 7. Детектирование гравитационного излучения
301
іц ¦
мость которой определяется экспонентои
g-i(»otg-rt/2?
причем функция осциллирует с частотой о)0, а затухание амплитуды и убывание энергии происходят соответственно с декрементами Г/2 и Г, т. е. ttj должна иметь следующую зависимость от частоты:
[со-CO0+ г-I]-1. (10.7.10)
Поскольку г| и ntj определяются свойствами свободных колебаний вне зависимости от того, как они возникают, такая частотная зависимость может проявиться только благодаря множителю g. Чтобы удовлетворить условию «унитарности» (10.7.8) для всех со, надо положить
to—юо4-^Г/2 • (10'7Л1>
Полное сечение рассеяния или поглощения антенной гравитационных волн (10.7.3) запишется тогда в единицах СГС в виде
_ ( 5ят)с2 \ / ТЩ \
О ПОЛИ ш2 Д (0)_0)0)2 + Г2/4 / *
х I (и*1 —eil + 2ra*ag)3 |u (10.7 12)
[»&»«-4" II2J HeIi l2+l «і212]
Весьма замечательным обстоятельством является то, что это сечение полностью определяется как функция величин euv и со параметрами со0, Г, т] и формой матрицы пі}- независимо от того, будут ли резонансные колебания механическими, акустическими, электрическими или какими-нибудь еще.
В частном случае, когда антенна обладает круговой симметрией относительно направления п, матрица Hij- имеет простую форму (10.7.7). Если ось симметрии располагается в плоскости 1—3 под углом 8 к 3-оси, вдоль которой распространяется волна, то неравные нулю элементы такой матрицы выглядят так:
H11 = sin2 0, ге13 = cos 0 sin 0, п33 = cos2 0.
Тогда полное сечение (10.7.12) имеет вид
Из-за множителя sin4 0 сечение будет наибольшим тогда, когда ось антенны располагается под прямым углом к направлению распространения волны, т. е. при 0 = л/2. Это отражает просто тот факт, что гравитационные волны, подобно электромагнитным, поперечны.
С^ТТПЛН — 302
Гл. 10. Гравитационное излучение
Когда поляризация гравитационных волн не измеряется, величина, представляющая интерес,— это сечение (10.7.12), усредненное по спиральностям ±2, т. е. по тензорам поляризации с еп = =Fie12. Такое сечение имеет вид
- /5ят|с»\/ Г«/4 \ /|гси-гс22|2 + 4|гс<2|2\ h07U\
I(^w) ( J- ( ^
Если антенна обладает аксиальной симметрией, то процедура усреднения по спиральностям сведется просто к замене последнего сомножителя в уравнении (10.7.13) на V2.
Проведенный выше анализ, строго говоря, применим только тогда, когда имеется единственное невырожденное резонансное колебание. Если же существует несколько вырожденных колебаний, то данная линейная комбинация, возбуждаемая гравитационной волной, может зависеть от поляризации волны, а потому tij не обязательно пропорциональна постоянной матрице пц. Например, если антенна есть упругая сфера, то любое квадруполъное колебание состоит из пяти независимых мод. В этом случае ^7-должна быть линейной комбинацией Sij- и Єц, но, как и раньше, член, пропорциональный 6,^, не дает вклада в (10.7.3) или (10.7.4), так что можно принять
hi = yet].
Тогда уравнения (10.7.3) — (10.7.5) дадут
Im у =1 у р,
и, поскольку у должен иметь зависимость от частоты (10.7.10), имеем
v = ( ~Г/2 \
1 \ 2со / \ со—ш0 + іГ/2 / *
Тогда для любой исходной поляризации полное сечение (10.7.3) имеет вид
стполн = (?1) ( ) • (10.7.15)
Во всех случаях эффективное сечение имеет максимум, когда антенна настроена так, что резонансная частота со0 равна частоте падающей волны со. Исследование выражений (10.7.12) — (10.7.15) показывает, что это максимальное значение сечения имеет порядок
(Тмакс«^2, (10.7.16)
где X — длина волны, равная 2лс/со. Если бы в идеальном случае колебания затухали только за счет испускания гравитационных § 7. Детектирование гравитационного излучения
