Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
гДе ЯіхЯt^ Ф 0. При усреднении по пространственно-временным интервалам, много большим чем | q — к |-1, интерференция между
(10.2.1) и (10.3.3) пропадает и (R^x) оказывается состоящим из
(10.3.2) и еще одного такого же члена, в котором заменены к на q. a euv на gMev + gveM. Однако, проверяя (10.3.2), легко видеть, что этот второй член исчезает и поэтому (R^x), а следовательно, п (^ди) можно без потери общности вычислить в гармонических координатах.]
Если подставить теперь в (10.3.2) условия гармонических координат (10.2.2) и (10.2.3), получим
<Д$> = kjP (e^bp—f I eh I2)- (Ю.3.4)
Величина Tj^P (Rip) исчезает, поскольку кркр = 0, и, следовательно, выражение (10.3.1) приводит к усредненному тензору энергии-импульса плоской волны:
= (Ю.3.5)
Заметим, что «калибровочное преобразование» (10.2.7) заменяет отдельные члены в на следующие:
е'ьр*eip = ехР*еХр + 2Re г*ркРехк + 2 | еркР |2, е'\ = е\ -f 2
однако ^iix) — величина калибровочно-инвариантная! Таким образом, коль скоро энергия и импульс связаны между собой, поляризации eMV и eMV + ZcMev + kveu соответствуют одной и той же 280
Гл. 10. Гравитационное излучение
физической волне и, следовательно, существует не шесть, а только два физически оправданных значения поляризационных параметров. В частности, распространяющаяся вдоль оси z волна, волновой вектор и тензор поляризации которой задаются соотношениями (10.2.8) и (10.2.9), имеет следующий тензор энергии-импульса:
<w = Ш (IeH I2+I*« I2)' (10-3-6)
который через спиральные амплитуды (10.2.15) записывается так:
§ 4. Возбуждение гравитационных волн
Вычислим энергию, отдаваемую системой в виде гравитационного излучения. Представим тензор энергии-импульса системы в виде интеграла Фурье:
OO
Tviv (X, O=J CkoTiiv (х, (O)?iwt-f к. е., (10.4.1)
о
либо в виде суммы фурье-компонент:
ZVv (X, t) = S (х, со) + к. с. (10.4.2)
(о
(Здесь символ «+к. с.» означает «плюс комплексно-сопряженное выражение».) Произведем сперва вычисления для одной фурье-компоненты:
Tliv (х, t) = Tllv (х, (o)e-iwi + K. е., (10.4.3)
а затем вернемся к более общей системе, описываемой соотношениями (10.4.1) и (10.4.2).
Из (10.1.11) следует, что поле, излучаемое источником (10.4.3), имеет вид
Jd3x1
|х_х< I Sllv (х') ехр { — Ш +1(01X — х' 1}-f к. е.,
(10.4.4)
где
Sliv (X, со) ^ Tilv (х, со) -І- TlivA (X, со). (10.4.5)
Предположим, что мы исследуем излучение, находясь в волновой зоне, т. е. на расстоянии г = | х | от источника, много большем, чем размер R = I х' |макс источника, и, кроме того, величина г § 4. Возбуждение гравитационных волн
281
намного больше, чем соR2 и 1/со. Тогда знаменатель | х — х' J-в (10.4.4) можно заменить на г, а в экспоненте написать приближенно
I X — х'I « Г — х'-х, X = -у.
Тогда поле примет вид
Kv (х, t) =-^-ехр (tor-tot) j (I3xrSilv (x', со) e-ia*'x' + к. c. (10.4.6)
Поскольку по предположению reo — величина большая, то выражение (10.4.6) выглядит как плоская волна:
Jiiiv (х, t) = Sjiv (х, со) exp (ik^xv-) + к. с. (10.4.7)
с «волновым вектором» и «тензором поляризации», задаваемыми в виде
к = сох, AO = CO, (10.4.8).
Bllv (X, со) ^J (I3xrSiiv (х', со) (10.4.9)
Удобнее выразить явно euv через фурье-образ тензора Tliv:
^v (X, СО) = [ Tilv (к, со) -4-TllivA (к, со)], (10.4.10).
Tliv (к, со) = j (I3x1Tiiv (х',, со) е-1*-"'. (10.4.11)
Закон сохранения для Tliv (х, t) имеет вид
0 = 0.
Применяя его к (10.4.3), получаем
-J7 Tiv (х, со) — IcoT1Ov (х, со) = 0.
дхі
Умножая последнее выражение на e_ikx и интегрируя по хг находим, что Tliv (к, со) подчиняется следующему алгебраическому соотношению:
^v (к, со) = 0, (10.4.12)
где вектор к*1 задается выражением (10.4.8). Отметим попутно, что (10.4.10) подчиняется условию гармоничности координат (10.2.3).
Вычислим приходящуюся на единицу телесного угла мощность излучения, испускаемого в направлении х. Поскольку г 1/со, то в качестве вектора потока энергии можно принять величину (tг0), усредненную по области пространства-времени, много большей чем 1/со. Тогда мощность излучения на единицу телесного угла 282
Гл. 10. Гравитационное излучение
равна
Используя для (^v) выражение (10.3.5), получаем
ж=ziiHii [>' <*•«><•¦«>- т і * <*• •) Iа] -
а подставляя сюда выражения (10.4.8) и (10.4.10) для А11 и е^ соответственно, видим, что множитель г2 сокращается и окончательное выражение выглядит так:
= (D) Tfcv (к, со)-А|Г\(к, со) I2J. (10.4.13)
Мы решили задачу, раз вычислили фурье-образ (10.4.11).
Удобно выразить (10.4.13) через чисто пространственно-подобные компоненты Tlv (к, м). Из (10.4.12) следует
Тої (к, со) = - VTji (к, со),
T00 (к, со) =AiWTJi (к, со),
где к = к/со = х. Подстановка этих выражений в (10.4.13) дает
= (k) (к, со) Tlm (к, со), (10.4.14)
где
Ai;, Im (к) ^= SilSJra — 2кJkmSil +
+ ~2 kikjkftm — -J- SijSirn + ~2 Sijkikm+-Simktkj. (10.4.15)
Если тензор энергии-импульса есть сумма типа (10.4.2) отдельных фурье-компонент, то поле Aliv можно представить в волновой зоне как сумму плоских волн (10.4.7). Тогда гравитационный тензор энергии-импульса будет задаваться в виде двойной суммы по этим фурье-компонентам, однако при усреднении по временному интервалу, намного превосходящему наибольший период биений (т. е. обратную величину наименьшей разности частот), перекрестные члены исчезают. В этом случае энергия будет иметь вид суммы членов, подобных (10.4.14), по одному на каждую частоту источника.
