Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
1 ••• л м-"‘л
Выберем в алгебре цилиндрических множеств множество
391
Се/2 = (xt^, ..e Ле/2} так, чтобы (ц + ц') (Се/2 ЛС) <б;
тогда, в частности, ц (Се/2) < б, т. е. (х^ ^ (\/2) < откУДа
Р (Се/2) = (*<,... *„ (Ле/2) < е/2' Получаем:
(С) (Се/2) + р/ (Се/2 &С) < е/2 + е/2 = е.
14. Распределение абсолютно непрерывно относительно
с плотностью'-——- (*,) = 0,если *i — хо^-0, ——— (х0) — еа при аЦ| ар.^
— *0 = 0. Так как эта плотность обращается в 0 на множестве положительной -меры, то распределение не абсолютно непрерывно относительно .
§ 7.2
1. То, что данная формула задает предсказуемую случайную
функцию, ясно. Нужно доказать, что r\t—fji — мартингал, для чего достаточно проверить, что М (,П/ + 1 — | t) =
2. Любая неслучайная функция, имеющая неограниченную вариацию на конечном отрезке. -
t
»0„о провести.
О
пользуясь формулами
М(/(ш,)|?г<5) = ф(ид,
ф (х) = ¦ j - _1 ._ ^ е-<у -*>г/2 [t-S)j ^ dy^
> -у2я (t — s) J
t'
а можно получить, применяя формулу Ито (см. § 12.3).
§ 8.2
1. Для функции f, принимающей конечное число значений, утверждение непосредственно следует из уравнения Чепмена — Колмогорова; лубую ограниченную измеримую функцию можно приблизить измеримыми функциями, принимающими конечное число значений, сколь угодно точно в смысле равномерной сходимости; далее пользуемся тем, что интеграл от равномерного предела равен пределу интегралов.
392
§ Ю.2
1. Пусть f е= Сравн* Для произвольного е 0 выбираем б > 0 так, чтобы
If (у) —/(*)[< е/2 при р (х, у) < 6.
Имеем:
| P'fw-fWK
< |j If (у) — Н*)1^> *. rfy) + |j If (у) — f(*)|P(<, Л, dy),
?/6(х) Кб(х)
Первый интеграл не превосходит е/2, второй— 2 Ц/Ц а& (t); при достаточно малых / это также меньше е/2, а вся разность меньше е сразу для всех х.
§ 11.2
1. Пусть h(x)—дважды непрерывно дифференцируемая функция на числовой прямой, равная 1 при х 0, 0 при х З5 1 и лежащая между 0 и 1 всюду. Полагаем f„(x) =f(x)-h(\x\—п). Это — последовательность гладких финитных функций, для них f„^DA, Af„(x) = Lf„(x). Доказывается, что f„(x)-+f(x) Lfn(x)-+Lf(x) равномерно по х. Пользуясь замкнутостью инфи-нитезимального оператора, получаем f е DA, Af е Lf.
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
=> ¦— следует
->-общий знак для различных видов сходимости, в том
числе слабой сходимости мер
(Р)— сходимость по вероятности
|—а) монотонно стремится снизу (в том числе и о неубывающей последовательности множеств);
б) вид сходимости, введенный в § 5.3 ^ — монотонно стремится сверху
Черта над выражением означает:
а) комплексно-сопряженное;
б) замыкание
[ ] —а) целая часть; б) просто скобки
<И.7> = ^ V-(dx)f (х)
X
+,--------употребляются, когда речь идет о пределах справа,
слева; например:/(1 — )= lim f (х)
х-*\-
lim — общее обозначение для предела в различных смыслах
lim (Р) — предел по вероятности
1. i. m — предел в среднем квадратическом
mes — мера Лебега
wt — винеровский процесс (определение см. в § 1.2) р(х, у)—расстояние между точками х и у в метрическом пространстве
R1—действительная прямая R+ = [0, оо)
R"—га-мерное евклидово пространство
Хт—пространство всех функций на множестве Т (произвольном) со значениями в X; в частности, Rr = (R‘)г — пространство всех вещественнозначных функций
Z1 — множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и 0)
Z+ = {п е Z1: л>0}
X
Ф (х) = — ^ \ dy — функция Лапласа
V 2я -I
— ОО
* — n-мерное распределение значений случайной
1 Т1
функции в точках ti, ..., t„ (см. § 1.1)
Рукописными буквами обозначаются различные системы множеств, чаще всего ст-алгебры.
394
3§* — cr-алгебра одномерных борелевских множеств 3S" — cr-алгебра л-мерных борелевских множеств З&х — а-алгебра борелевских подмножеств X, т. е. наименьшая cr-алгебра, содержащая все открытые подмножества метрического пространства X
8ВТ(Х)—наименьшая ст-алгебра в пространстве X функций на множестве Т, содержащая все цилиндрические множества (см. § 5.1)
38Т(Х) — частный случай этого обозначения, когда ст-алгебра 9В — ст-алгебра борелевских множеств
SB7, 9&т — частный случай этих обозначений, когда X = Хг
Полужирным шрифтом обозначаются различные функциональные пространства, например: В (X, ЯВ). Во, С<ф2>н,Я>+00, V.
Рубленым шрифтом обозначаются:
Р — вероятность М — математическое ожидание D — дисперсия
