Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Р <*> = Р* {®t е И = Р* (0гУ {wx ^ Г}) =
= мЛТ5КеГ} = м^(Ц)-
Но ясно, что в силу сферической симметрии винеровского про-388
цесса распределение gTiS на сфере — равномерное; поэтому
MxP(iTs)- сРеДнее Р{У) по сфере S.
Итак, функция р в каждой точке равна своему среднему по любой сфере с центром в ней, не выходящей за пределы области, т. е. это гармоническая функция.
§ 13.3
1. Выпустим винеровскую траекторию из точки (0, 0). Вероятность того, что она достигнет п-го маленького кружочка до выхода из большого круга, не превосходит вероятности достичь этого кружочка раньше выхода из круга {(*, у): (х— 1 /2”)2 -f-+ у2 ^4} (рис. 44). Эта последняя вероятность равна (In 2 — In (l/2ri))/(ln 2 — In (1 /2"3)) (см. задачу 6 § 13.2), т. е. (п + 1)/(я3 + 1). Ряд из этих вероятностей сходится, процесс
Рис. 44
с вероятностью 1 до выхода из круга достигает лишь конечного числа из маленьких кружочков, откуда
Р0, о {т > 0} = I-
2. Возьмем непрерывно дифференцируемую неотрицательную функцию g(z) на [0, оо), равную г2 в 2е-окрестности точки 0 и нулю вне некоторого отрезка. Обозначим через их{у) следующую функцию в R: их (у) = g (| у — х | ). Эти функции принадлежат Сф^, и легко видеть, что для х е ие(х0) нормы
IILu*и™х17?<*)+ ?bi{у) дих(у)
о
¦— мартингал; поэтому
t
2 “ ду1 ду} ду1
ким-то числом К. Мы : t
мм - 5 Lux(is)ds
ограничены сверху каким-то числом К. Мы знаем, что
t
—субмартингал, причем неотрицательный. Пользуемся колмого-
389
ровским неравенством: для х е t/e^2(*0)
Рх ф. UE (*0) при каком-то t < Л} <
["*&)“ \ 1и*(6,)* + *^>в,/4 J <
^ -J
их (\h) - J Lux (ge) * + Kh = 4e~2 Xh-± 0 (A j 0).
о J
3. Строго марковское свойство относительно момента г: для любого события А е и любого события В е 9'^
Рх(ЛП0~,В)= J PiT(S)Px (dco). (.)
А
Положим Л — е 5|, В = {т>0}; имеем: Q~lB=Q~l {t>0} =
= {0tT>O} = {O > О} = 0. Левая часть (*) равна Рх(0) = О;
в правой части Р. (В) — 1, потому что st
?—сингулярная точка границы. Получаем 0 = Рх (Л).
4. Регулярные точки границы показаны жирными линиями на рис. 45. Стрелки указывают направление сноса.
Менее всего ясна регулярность граничных точек (0, 1), (0, —1).
5*. Теоретико-вероятностный смысл — абсолютная непрерывность с ограниченнной плотностью относительно друг друга распределений точек выхода из области для траекторий, исходящих из точек хну. Однако, чтобы полностью правильно это понять, нужно рассматривать не геометрическую границу области, а границу Мартина (понятие о границе Мартина можно получить, прочитав § 8.5 книги Ито и Маккина (1968)).
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ,
ДОБАВЛЕННЫЕ ПРИ КОРРЕКТУРЕ
§1.2
3. Из (2) получаем
Рд» W = Д [2* (tt ~ 1/2 ехр |- ? j,
пользуясь формулой
РА\ = I det Л Г1 (Л-1*)
преобразования плотности при невырожденном линейном преобразовании случайного вектора.
390
т
—I
Рис. 45
§ 2.1
11. Необходимость ясна; докажем достаточность. Согласно мнкротеореме 1 достаточно установить существование конечного предела
lim М Л-> о Л'->0
*t + h
¦lt t
t+h
h'
= lim h-»o h'-*0
hh'
Числитель представляется в виде t + h t + h'
д2
s s
t t
ds ds
— ЩЛ,' ds ds',
используется непрерывность смешанной производной.
13. Существование процесса с такой корреляционной функцией можно установить с помощью задачи 3 § 1.3:
6f = Y0-l+Y,< + Y2<*+ +Y„<"+
где у * — некоррелированные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсиями 1 /к\. Бесконечная дифференцируемость процесса в среднем квадратическом вытекает из бесконечной дифференцируемости его корреляционной функции. Матрица ковариаций:
/ е --- е е 1 е~ \
--- е 2е --- е 0 е~1
е --- е 7е 0 е~1
0 0 1 1
V е~х е~1 е~1 1 е )
§ 3.3
3*. Пример: \t — произвольный стационарный в широком
смысле случайный процесс, т]< = Имеем
М|Е#-чря<о^Р = 0
при t ^ 1, тогда как, вообще говоря м1Е_(-пРя
§ 5.3
3. Нужно доказать, что из СеЖг, ц(С) =0 вытекает
ц/(С) == 0; достаточно доказать для любого е > 0, что ц/(С) <
< е. Выберем по данному « положительное 6 < е/2 так, чтобы
при любом п из \it t (/4) < б следовало м' (Л) < е/2.
