Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(82)
для взаимодействия
ДеЙСТВИТеЛЬНО, ПуСТЬ . Vn = Kn <р И Дят = KnK т& = Кп&Кт,
где /Сл — произвольные линейные операции (у нас Kn = dnjdtn). Имеем
5cpn лш ocpm 5ср„ я Ъут
пт пгп
j Ь \ ( X о
л т
т. е. дифференциальная форма сводится к полному квадрату. Отсюда
S о
поскольку
^=A п9 оср оср
V^ Q Vl ь
2j ц >„~~2j^n^n-
оср
п п
В правой части 6/6 ф™ понимается как частная производная по фп = Лпф, в левой части 6/6 ф есть „полная производная". Приведенные выше рассуждения доказывают формулу (82).
Замкнутое выражение для эффективного взаимодейстзия (83) можно получить тогда, когда исходный функционал взаимодействия Sv(фо, фь ...) зависит от производных фп, /г^1, достаточно просто (линейно или квадратично). Отметим, что определенное соотношениями (80), (83) эффективное взаимодействие всегда будет иметь лагранжеву форму, т. е. представляться интегралом по времени от некоторого /-локального функционала' — лагранжиана. Но этот лагранжиан в общем случае оказывается комплексным, а не вещественным, как обычно (относительно унитарности S-матрицы см. п. 5.2).
Стоит также отметить, что для большинства практически
3* 35
важных случаев изложенная выше схема построения эффективного взаимодействия является избыточно общей. Действительно, оператор свободного поля, из которого строится взаимодействие, удовлетворяет /-локальному уравнению движения (2). Для обычных лагранжианов это уравнение либо первого, либо второго порядка по времени (подробнее см. гл. II). В уравне-
Л
нии первого порядка производная ері выражается через само
поле ф или его производные по другим аргументам, и в этом случае без ограничения общности можно считать, что взаимодействие вообще не содержит производных поля по времени. Для уравнения второго порядка точно так же можно исключить вторую производную поля по времени и считать, что любое взаимодействие выражается только через оператор поля и его первую производную по времени.
До сих пор мы рассматривали лишь квантовую теорию, считая V некоторым данным операторным функционалом и не интересуясь его происхождением. Скажем теперь несколько слов о квантовании классических систем, лагранжиан взаимодействия которых содержит производные поля по времени. Без ограничения общности можно считать, что лагранжиан зависит только от первых производных по времени, т. е. скоростей. Если лагранжиан невырожден (об особенностях квантования систем с вырожденными лагранжианами можно прочитать, например, в книге [4]), то по нему однозначно находится классический гамильтониан взаимодействия %Т как функция координат и импульсов. При квантовании в шредингеровском представлении q и р заменяются на операторы, причем разным вариантам расстановки некоммутирующих множителей соответствуют разные
Л Л
операторы N = W{q, р), т. е. разные „рецепты квантования" (см. пример в § IL 6). Операторную реализацию координат и импульсов в шредингеровском представлении всегда можно взять такой же, как и для свободной теории. Тогда при переходе к представлению взаимодействия зависимость этих операторов от времени будет определяться уравнениями свободной теории, так что операторы импульса в представлении взаимодействия можно выразить через производные по времени от операторов • координат (свободного поля). В результате получим явное представление оператора взаимодействия Vf/) в виде /-локального операторного функционала от свободного поля, и дальнейшее рассмотрение квантовой теории пойдет так, как описано выше. Разным вариантам квантования, которым соответствуют разные операторы Vf/), будут сопоставляться разные функционалы Sl^, так как этот функционал определяет Vf/) однозначно. В конкретных случаях выбор рецепта квантования ограничивается различными дополнительными соображениями, например требованием релятивистской инвариантности в релятивистских теориях.
36
5. Производящие функционалы S-матрицы и функций Грина.
Производящим функционалом S-матрицы будет называться функционал
R (<р) = ехр (-у- ¦ifbif) ехР1 sv (?)• (84>
представляющий оператор S-матрицы в нормальной форме. Для взаимодействия с производными поля по времени в этой формуле следует понимать как эффективное взаимодействие, рассмотренное в предыдущем разделе. По опреде-
лению оператор S-матрицы есть NR(cp). Поле ср удовлетворяет свободному уравнению (2), откуда ясно, что для определения S-матрицы как оператора достаточно знать сужение функционала R (у) на множество тех ф, которые удовлетворяют уравнению (2). Это сужение будет называться функционалом S-матрицы на поверхности масс в отличие от самого функционала (84), который представляет S-матрицу вне поверхности масс.
Определим также производящий функционал полных функций Грина (75):
со
G {A) = Gn(IAf
/1 = 0
со
Аргумент функционала А(х) есть классический объект той же природы, что и поле ф(х), т. е. обычная функция для бозонов и антикоммутирующая функция для фермионов. В последнем случае отличны от нуля лишь функции Gn с четными номерами п.
