Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
42
і *
\
коэффициент при D2 в /?(ф), N(D2-^Dx)—число способов превратить D2 в Di удалением одной линии. В правую часть (104) тот же граф войдет с коэффициентом sC{N(Di->D2), где Ci — коэффициент при D1 в R((p), N(Dx-^D2) — число способов превратить Dj в D2 добавлением одной линии, т. е. число различных пар вершин, соединение которых линией превращает D1 в D2. Дополнительный множитель є равен единице, если линия присоединяется к разным вершинам, — в этом случае при взятии второй производной по ф для данной пары вершин возникает дополнительный множитель 2, сокращающий коэффициент 1/2 в правой части (104). Если же присоединяемая линия является закороченной, то є= 1/2.
Приравнивая коэффициенты при Di в обеих частях равенства (104), получаем искомое рекуррентное соотношение
C2 = C1S N (D1 -+ D2)IN (D2 - D1), (105)
которое довольно удобно при практическом вычислении сим-метрийных коэффициентов.
Примеры
1. Пусть Di — квадрат. D2 — квадрат, одна из сторон которого сдвоена. В этом случае N(D2 -> D1) = 2, поскольку разорвать можно одну из сдвоенных линий, и N (Di -> D2) = 4, поскольку D2 получается из D1 удвоением любой из четырех сторон квадрата.
2. Пусть D1 — квадрат с одной диагональю, D1 — квадрат с двумя диагоналями. В этом случае TV (D1 -* D2) = 1, тогда как N (D2 -> D1) = 6, поскольку квадрат с двумя диагоналями есть тетраэдр, у которого все шесть линий эквивалентны.
С помощью формулы (105) можно вычислить коэффициент при любом графе, отправляясь от простейшего, который состоит из N изолированных вершин с коэффициентом 1/Л/1.
5. Переход к майеровским графам для экспоненциального взаимодействия. Операторному экспоненциальному взаимодействию V=— pj dx ехр [Х<р (0, х)] без знака нормального произведения соответствует производящая вершина jfc(y) — i$ Jdx X
X ехрХ<р (х). В этих формулах <р — бозонное поле, р и X — произвольные числа. Общий член ряда (96) имеет тогда вид
^J...^dX1 ... rfxArexp(4-~A-~-jexp \j Ц(х,). (106)
і
Сумму всех у (X1) можно представить в виде скалярного произведения поля ср на функцию /;(х) = Ь(х — ^^воспользовавшись затем разенстзом (12), приведем выражение (106) к виду
(i?)N
^г j. ..^dX1 ... dxAexp^^y (X1) + ^^?A(xh xft)j. (107)
ik
43
Диагональные элементы квадратичной формы переопределяют вершины:
/р ехр Хер (к) -> Uj ехр
а ее недиагональные элементы порождают при разложении экспоненты в ряд всевозможные графы с линиями А, соединяющими разные вершины.
Введем майеровскую линию или суперпропагатор
g(x, х') = -1+ехр [X2A(X, JtO]=X2A(X, jc')+ 1,2X4A2(х, х')+... . Выражение (107) можно тогда переписать в виде
I Kk
и представить конечной суммой диаграмм с в'ершинами т(х) и линиями g(x, х'). Все эти диаграммы — майеровские, т. е. в них нет закороченных линий и любые две вершины соединяются не более чем одной линией; коэффициент при свободном* графе определяется по обычному правилу (обратное симмет-рийное число).
Переход к майеровским линиям эквивалентен некоторому частичному суммированию графов обычной теории возмущений с линией А и возможен потому, что для экспоненциального взаимодействия вершинные множители (97) зависят от числа сходящихся в вершине линий степенным образом. Подобное суммирование можно выполнить и для неэкспоненциального взаимодействия, разложив его предварительно в интеграл Фурье или Лапласа. Отметим, что графическая техника экспоненциального взаимодействия впервые была использована в равновесной статистике классического неидеального газа (подробнее см. гл. V). Отметим также, что если исходное операторное взаимодействие написать со знаком нормального произведения, то в (107) исчезнут диагональные члены квадратичной формы.
6. Графы для взаимодействия типа Юкавы. В универсальных обозначениях представление (84) и порождаемая им диаграммная техника одинаковы для всех теорий. Однако при практическом вычислении вкладов различных диаграмм в конечном счете все равно придется перейти от универсальных обозначений к обычным; кроме того, универсальные обозначения маскируют специфические особенности различных теорий. Поэтому мы кратко обсудим на обычном языке диаграммную технику для важного частного случая взаимодействия типа Юкавы.
В этом взаимодействии участвуют комплексное поле г(), г|)+> которое может быть как бозонным, так и фермионным, и вещественное бозонное поле ср. Взаимодействие пишется в виде кубической формы
''W1 1», т) = l^dxdx'dyГ(х)Т(х, х\ у)^(х') <р(у), (108)
44
линейной по каждому из полей \|)+, if, ф. Для обычного ^-локального взаимодействия ядро Г содержит 6-функцию совпадения всех трех временных аргументов, в остальном оно совершенно произвольно (к типу (108) относится и взаимодействие квантовой электродинамики).
Свободное действие S0 поля if, if4- является обычно билинейной формой \f+/(if с некоторым ядром /С. В универсальных обозначениях (см. § 1)
те=4-1№+*ф*т]=4- (J+) (% T) (|+) •
Соотношение (31), связывающее пропагатор с ядром свободного действия, принимает в данном случае вид
Н?: (,09>
и определяет матрицу сверток поля ф = фь ф+ = ф2: свертка ф
