Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Обсудим теперь вопрос о знаках при графиках для случая фермионного поля if, if+. По этому полю взаимодействие (108) является квадратичной формой вида if+Lif с ядром L(x, х') = = fdyT(x, х\ y)q>(y). Дифференцирование по if, if4" в (НО) можно выполнить явно, воспользовавшись соотношением (его доказательство см. в п. 6. 5)
exp4rA12-^rexp«l.^* = det[l-IAls]-xexp<l.+[^-1-^2]-1'l'. (П2)
в котором detAf обозначает определитель линейной операции
Обозначим Q= [L"1 — A12]""1 = /. + LA12L + ... . Квадратичная форма ^+Qu изображается графически з виде прогрессии
---- , (113)
в которой направленным линиям соответствует пропагатор А\2у а точкам — вершинные множители (97) для взаимодействия (108).
47
. Воспользовавшись хорошо известной формулой detAf = — ехр tri n Af, выражающей определитель линейной операции
через след ее логарифма, напишем: det [1 —Lk12]"7 = ехр* ^(ср). Функционал (9) = — tr In (1 —Lk12) представляется графически в виде суммы замкнутых петель:
г,-^tra^f.Q+IQ + J-Q+..., (114)
в вершинах которых остается лишь поле ср. Представление (НО) для функционала S-матрицы можно теперь переписать следующим образом:
oo
-^л!гехР(4--^Л'І-)['^Л'ехР[^(^- ' <115>
N=O
Оставшаяся операция приведения по ср добавляет всеми возможными способами линии А' между вершинами цепочек (113) и колец (114).
Если поле бозонное, то х=1 и все диаграммы в (115)
входят со знаком плюс. Если же поле г|>, г|?+ фермио,нное, то X = — 1 и появляется дополнительный знаковый множитель —1 на каждую замкнутую фермионную петлю (114). Этот множитель полностью определяет знак перед диаграммой при условии, что остающиеся в R несвернутые антикоммутирующие поля if>, \|)+ сгруппированы, как в (115), в коммутирующие между собой блоки if<+Qi|). Каждому из этих блоков соответствует сплошная цепочка ф-линий, проходящая через всю диаграмму.
Слагаемые с /V=I в (115) имеют только одну сплошную цепочку і|?-линий, так что ее концы будут уникальными вершинами в диаграммах. Из предыдущего анализа симметрийных коэффициентов следует, что все свободные диаграммы с одной сплошной цепочкой ф-линий входят в (115) с единичным коэффициентом. Если же число сплошных цепочек больше единицы, то группа симметрии диаграммы может быть нетривиальной, но в нее могут входить лишь такие перестановки, при которых сплошные цепочки ф-линий переставляются как целое. Эти соображения существенно упрощают подсчет симметрийных коэффициентов для взаимодействия типа Юкавы.
7. Графы для парного взаимодействия. В нерелятивистской теории часто рассматривается парное взаимодействие комплексного поля i[\ ф4". Его гамильтониан приводится в следующей главе (см. формулу (II. 29)), а производящая вершина с точ-
48
ностью до несущественных квадратичных по полю членов имеет
вид
iSvit t)=\[\dxdx'^(x)^(x')T(x, X') I/(X') ty(x). (116)
Для гамильтониана (11.29) Г (х, xr)=~ ?(t-t') ?Г(х, х'), где W-симметричный потенциал парного взаимодействия. Вместо (ПО) имеем
R (ф, Г) = ехр
5 А Ь п
5
А12
expiSv(^ ^+).
(117)
С помощью стандартной диаграммной техники п. 1 функционал (117) можно представить в виде суммы ориентированных графов, вершинам которых сопоставляются производные (116) — аналоги вершинных множителей (97).
На практике, однако, чаще используется другая диаграммная техника, в которой взаимодействию сопоставляется не одна, а две вершины диаграммы. Ее исходной точкой является следующее представление функционала (117):
5 А 5 1
+
R (ф, Г)
ех
В
о
8ф
42
2 В<р 5ср
ехр рср
Cp=O
(118)
в котором ср (х) — введенное дополнительно бозонное поле, р (х) еее ф+ (х) ф (х) и = ^ dxp(x) у(х). Согласно (12) имеем
ехр
1
ь
ь
2 5ср 5<р
ехр рср
= ехр (Ц- pl>) = ехр iSv
что доказывает эквивалентность представлений (117) и (118).
Правая часть (118) имеет вид функционала S-матрицы для взаимодействия типа Юкавы и может быть представлена соответствующими графиками. Ядро взаимодействия Т(х, х') играет роль пропагатора поля ф, а условие ф = 0 в (118) означает, что рассматриваются лишь такие диаграммы, в которых все поля ф свернуты, Взаимодействие (116) изображается теперь не одной, а двумя вершинами диаграммы, соединенными между собой линией Г. Количество диаграмм при этом увеличивается, но этот недостаток компенсируется простотой вычисления симметрийных коэффициентов и, самое главное, наличием четкого правила знаков для случая фермионного поля if, if+.
8. Связность логарифма Л?(ф). Мы будем доказывать следующее топологическое утверждение, впервые установленное в рамках равновесной статистики классического неидеального газа и известное там под названием первой теоремы Майера U, 8]:
hi R (ср) — связная часть R (у). (И9)
Напомним, что связным называют такой граф, в котором, следуя по линиям, можно из любой вершины попасть в любую
4 Зак. 102
49
другую. Функционал R(y) имеет вид 1+ графики, среди которых имеются как связные, так и несвязные; вклад несвязного* графика равен произведению вкладов его связных компонент. Связной частью R(cp) называют сумму вкладов всех связных графиков R (ср) со своими коэффициентами и знаками.
