Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Для „нулевой" степени поля символы T и Sym доопределяются обычным образом: Sym I = T 1 = 1. Отметим, что Sym и Т, так же как и N, не являются в действительности линейными операциями на пространстве операторов: из операторного ра-
венства F1 = F2 не следует ни TFx = TF2, ни Sym Fx = Sym F2.
Хронологической сверткой или пропагатором поля ф называется с-числовая функция А(х, х')> определенная соотношением
П? (*')] =N [f (X) і (л')] +А(х, х'). (28)
Из определения (26) и равенства (17) получаем
А(х, х') = Ъ(12)п(х, jc') + x6(21)/i(jc', х). (29)
Сокращенно А = вї2п + х921/гт. В соответствии с договоренностью при совпадении времен свертка А доопределяется условием
А(х> *') Ur =4-1^(*» х') + т(х\ х)] \t=t, = ns{x, x')\t=r. (ЗО)
В отличие от п свертка А всегда симметрична, т. е. А = кАТ. Отметим еще одно важное свойство сверток, а именно: простая свертка п удовлетворяет свободному уравнению (2) по каждому из своих аргументов, а хронологическая свертка (29) всегда оказывается функцией Грина (с точностью до множителя і) этого уравнения:*
Kn = Kn1 = О, KA = і. (31)
Левые части понимаются как произведения линейных операций, а / в правой части — как операция, кратная единичной (ядром последней является 6(х—х)). Мы не будем приводить общего доказательства соотношений (31), а удовлетворимся тем, что для всех рассматриваемых в следующей главе конкретных систем они легко проверяются. Особым является случай безмассового векторного поля, которое рассматривается отдельно в гл. III.
* Часто в (28) вместо А пишут г'А, и тогда равенство KA = і принимает вид /CA = 1. При такой записи A = TC-1 — настоящая функция Грина (без і). Мы предпочтем запись (28), так как свертка А = iK~l во все формулы входит как целое, но для краткости называть ее будем просто функцией Грина, подразумевая оговорку "с точностью до множителя і".
2*
19
3. Теорема Вика для симметричных произведений. Запись теоремы Вика (18) существенно упрощается, если в левой части стоит не простое, а симметричное произведение операторов поля.
Рассмотрим сначала Sym-произведение. Приводя каждый член суммы (24) к нормальной форме по правилу (18), получаем
SyIn[^(X1) ... і (Xn)} =
Kk
(32)
Симметризация в правой части производится по всем перестановкам Х\. . .Xn при сохранении порядка функциональных аргументов Cp1.. .ф„. Например:
Sym [Cp1 (X1) ср2 (X2)] - 1 [Cp1 (X1) Cp2(X2) + XCp1 (X2) ср2 (X1)]. (33)
Поля в (32) — классические объекты, и должной перестановкой множителей мы можем вернуть аргументы х{ к исходному порядку Х\. . .Xn в каждом члене суммы в правой части (32). Возникающий при перестановке фг- дополнительный знаковый множитель совпадает, очевидно, с множителем ер в
определении (24) операции симметризации, и эти два множителя взаимно сокращаются. Отсюда ясно, что симметризацию в правой части (32) можно также понимать как симметризацию бозонного типа (все члены со знаком плюс) относительно перестановок функциональных аргументов фі. . .фп при сохранении порядка Х[. . .хп. В примере (33)
Cp1 (X1) ср2 (X2) -f x?l (X2) ср2 (X1) = Cp1 (X1) ср2 (X2) -f ср2 (X1) Cp1 (х2).
Подчеркнем, что знак в правой части этого равенства не зависит от статистики.
Обратимся теперь к операции приведения и разложим каждую из дифференциальных квадратичных форм на симметричную и антисимметричную относительно перестановки индексов части:
а 5 і
п
Ці Цк 2
п і--Y-—п
Ці Цк Цк Ці .
^ 2
S 5 ь ь п----г—п
Ці Цк Цк Ці
(34)
Учитывая, 1) что дифференцируемый функционал, по доказанному, является четным относительно любой перестановки функциональных аргументов фг-, 2) что он линеен по каждому из аргументов фг< и 3) что после дифференцирования все ф^ полагаются равными одному и тому же оператору ф, заключаем,
o1J
что нечетные части любой из форм (34) не дают вклада в окончательное выражение и их можно отбросить.
Итак, каждый множитель операции приведения можно записать в виде
1 +
1
О
О
1N
О
Щ-1
ехр
2
о
П
о
5
П
Цк Ци Ці
(35)
Замена на экспоненту допустима потому, что добавляемые высшие степени производных все равно не дадут вклада вследствие линейности дифференцируемого функционала по каждому из аргументов ф;. Полная операция приведения в (32) является произведением по Kk операций (35):
Scp? - /г
O1 Ці
(36)
Пользуясь еще раз линейностью по фг- дифференцируемого функционала, к показателю экспоненты (36) можно добавить диагональные члены с і — k, после чего показатель принимает вид „полного квадрата":
У,
Ь
5
ОСр;
П -г- =
ih
Если от фЬ . .фп перейти к новым функциональным аргументам — среднему значению ф = (фі+\ . . + фп)М п разностям ф;—фг+ь то форма (37) сведется ко второй производной по ф. Действительно:
_0_
О* Cp
о
Sep оср/
5
S
ік
ь
Sep,
n-i— =
п
Цк Ц 5ср
(38)
После выполнения дифференцирования мы должны заменить
А
BCe фг- На ф. ЯСНО, ЧТО МОЖНО ПОЛОЖИТЬ фі = ф2 = . . . = фп = ф
еще до дифференцирования, поскольку форма (38) не содержит производных по разностям фг—фг+ь Это значит, что теорему Вика (32) можно переписать следующим образом:
