Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Доказанное утверждение можно записать следующим образом:
То [FiT(tt) ... Fnr(tn)] — = U(0, T1)T[F1(Z1) ... ехр х3; ?)] U (*,, 0). (70)
Отметим, что при выводе соотношений (45), (46), (60), (70) используется, в сущности, лишь то, что при t>t' свертки к(х,х) в п(х, х') совпадают, а при t = V они связаны соотношением (30). В последующих главах будут рассмотрены евклидова теория поля и квантовая статистика. В этих теориях свертки А и п будут другими, но функциональный вид операций приведение и равенства A = Ai при t>t\ A = ns при t = tf сохраняются. Поэтому доказательства соотношений (45), (46), (60), (70) остаются в силе и для этих теорий.
Рассмотрим теперь среднее значение оператора (70) по истинному основному состоянию J 0,Л. Будем считать известны-
32
ми следующие асимптотические формулы нестационарной теории возмущений для дискретного невырожденного уровня: при
Ti->oo, X2-*--00
U(^ 0)|0)^а(т2)|0>; U(T1, 0)| O) = P(T1) 10>. (71)
Здесь |0> — основное состояние свободного гамильтониана, которое предполагается невырожденным; а и ? — некоторые фазовые множители. Доказательство формул (71) и их обобщение на случай вырожденного уровня приводится в Приложении 1.
ПрИ T1 -> со, T2 — QO имеем
(0IU(O5T1) ...и(т2эО)|0)^?*(т1)а(т2)<0| ... |0>. (72)
Смысл фазового множителя р* (T1Ja(T2) нетрудно найти из (71): P (T1) а* (т2) ^<01 U (T1, т2) I 0> при т, -> со, T2-^-CO. Поэтому
T IF (t) F it )1 1 0) =<0^ 7^1 ^ ^*(^)ехр iS*>(v)} lQ>
(73)
где S0 — функционал взаимодействия (59) для всей оси времени.*
Знаменатель в правой части (73) есть вакуумное ожидание •S-матрицы U=U(oo, —со). Эта величина определяет AE0 — сдвиг энергии основного состояния при включении взаимодействия, так как для любого невырожденного дискретного уровня
При Ti—Т2->СО
11KOIU(T1, T2) І 0> = -і Af0(X1-T2) +0(1). (74)
Доказательство этой асимптотической формулы приводится в Приложении 1. Утверждение (74) применительно к 5-матрице будем записывать в виде <0|U|U>=exp[—іAEqJdt].
Числитель в правой части (73) называют полной функцией
А
Грина операторов а частное (73)—функцией Грина без вакуумных петель. Смысл этой терминологии станет ясен позднее. Величины
Gn(X1 ... хп) = <0\ T[^(X1) ... ?(х„)ехр і Sv($>)} |0> (75)
Л
являются по определению полными функциями Грина поля срг.
„Нулевая функция" G0 == <0 | T ехр iSv( 9)|0> есть число — вакуумное ожидание S-матрицы. Определенные соотноше-лием (58) функции х
Hn(X1 ... Xn)=(OlTn[^(X1) ... 9V(Xn)J]O) = G^1Gn(X1 ... Xn)
_ (Щ
* Иногда в этой формуле вместо ехр iSv (ср) пишут оператор S-матрицы. Это небрежность записи: строго говоря, символ "Г-оператор" смысла вообще не имеет в отличче от 'Т-операторный функционал" (см. по этому поводу замечание в п. 2Л).
Ч Зак. 102
3
можно теперь назвать функциями Грина без вакуумных петель
ПОЛЯ фг.
4. Взаимодействие, содержащее производные поля по времени. При получении формул (60), (70), сводящих дайсоновские Г-произведения к виковским, использовалось предположение об отсутствии производных поля по времени в операторе взаимодействия V(t). Теперь мы рассмотрим общий случай, когда-V (7)— /-локальный функционал, зависящий не только от само-
Л Л VV
го поля ф(Х), но и от производных фп= (d/dt)пф конечного порядка. Общий случай сразу же сводится к рассмотренному, ее-
Л
ли каждую из производных фп считать независимым полем и
определять матрицу сверток системы полей фп через дайсоновское Г-произведение:
Дяи{хХ) = T0[^n(X) im(X')} -N[in(X) jM(X')]. (77>
Символ Г в этой формуле можно понимать и как обычное ви-
Л
ковское Г-произведение независимых полей фп, рассматривая (77) как частный случай общего определения (28). Это значит,
что на языке системы независимых полей фп все стандартные формулы приведения остаются верными (индекс п, при желании, можно включить в аргумент х), в частности, можно пользоваться формулами (60), (70), поскольку на языке полей фп функционал взаимодействия 5и(фо, фь ...), представляющий Sym-форму квантового взаимодействия, не содержит производных полей по времени. Следовательно:
U = rexp/5„(cf>0, Ti» ... ) =
-Nexp/4-2^7 A^^Vxp/5^cp°'Ть(78*
У пт J
Символ I.;. указывает, что после выполнения дифференцирования каждое из классических полей фг- нужно заменить на кван-
Л
ТОВОе ПОЛЄ фг-
Полученную теорию можно сформулировать и на языке одного поля ф=ф0, изменив определенным образом функционал взаимодействия. Чтобы это сделать, выделим из матрицы сверток Апт ее „виковскую часть" А'
пт-
-jf) ЬтН M*.^); Кп = &пт + апт. (79}
Добавка апт является /-локальной, т. е. содержит б (i—Ґ) и ее производные конечного порядка. Ясно также, что а0о = 0.
Определим теперь функционал Sv{90, ... ) соотношением
expiSvdo, ?i, ... ) = ехр i±^^ann^\exptSv(<p0, <ри ... ). (80)
пт
34
Функционал S-матрицы в Л^-форме (78) выражается через Sv следующим образом:
• (81)
9 ;= «??
Остается заметить, что это соотношение можно рассматривать как формулу приведения обычной виковской Г-экспоненты
U = iVexp(-l-l.A^-)exp«^(T)
