Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Динамику квантовой системы можно описывать унитарным оператором развития U (хь т2) в представлении взаимодействия. Этот оператор является решением уравнения ZdU(T1, ^)/^1 = = V (X1) U (xt, х2), в котором V (х) есть гамильтониан взаимодействия в представлении взаимодействия: V(x) = exp (ZH0x) X X V ехр (—ZH0x). Решение уравнения движения для U с начальным условием U (х, х)=1 записывается следующим образом:
U (X1, х2) = е'нохіеш (х*-ті>е-ш°Тл =
со
Интегрирование по каждому времени t-x производится от X2 до
По определению оператором 5-матрицы U называется предел оператора развития U (ц, X2) при n-^oo, %2~^—оо: U =
•= U (+ оо, —оо).
С математической точки зрения U(ti, X2) является хорошо определенным унитарным оператором тогда, когда Но и H — самосопряженные (а не просто симметричные) операторы. Для трансляционно инвариантных систем, в частности релятивистских, оператор H таковым, как правило, не является. Но даже если оператор U(tt, тг) хорошо определен, предел U=e U(oo,—оо) может не существовать в математически строгом смысле. Необходимым условием существования этого предела служит совпадение спектров операторов H0 и Н, а это условие, как правило, не выполняется. Таким образом, в большинстве практически важных случаев рассматриваемые нами операторы являются всего лишь некоторыми формальными конструкциями,
27
из которых, тем не менее, оказывается возможным извлечь всю необходимую физическую информацию о системе.
Возвратимся теперь к выражению (55). Симметризовав общий член ряда по всем перестановкам времен t\ ... tn, мы выразим его через дайсоновское Г-произведение операторов V(^):
M1 ... dtnB(l ... n)V(t{) ... V(Q = ... j dtx ... dtnTD [V (tx) ... V (tn)], (56)
а весь ряд (55) можно тогда записать в виде дайсоновской Г-экспоненты:
U (T1, т2) = Го ехр [- і J;* dtV (0] . (57)
Равенство (56) верно лишь тогда, когда V(7) — оператор бозонного типа, что и будет всегда предполагаться,- хотя на практике встречаются и такие случаи, когда это не так. Например, оператор взаимодействия двухуровневой системы с квантованным электромагнитным полем записывается в виде а+Ь-\-+ b+а, где Ь+, Ъ — фермионные повышающий и понижающий операторы двухуровневой системы, а+, а — бозонные операторы поля. Взаимодействие является в данном случае оператором фермионного типа и вольтерровский ряд (55) не сводится к дайсоновской Г-экспоненте.
В полевых теориях важным объектом изучения являются также функции Грина поля, которые определяются следующим образом:
Hn (X1 ... Xn) = (01 TD [?г (.K1) ... ?r (Xn)] 10). (58)
В этой формуле 10) обозначает основное состояние полного гамильтониана—„физический вакуум", которое предполагается
невырожденным и нормированным на единицу; ®г(х) — one-
л
ратор поля в гайзенберговском представлении: <рг(^, х) =
= ехр (Mt) ср (0, х)ехр(—Mt). Символ 7Ъ определен в предыдущем разделе.
2. Переход к представлению взаимодействия в операторе развития. В полевых теориях оператор V(t) задается явно в виде некоторого /-локального операторного функционала. В этом и следующем разделах предполагается, что операторный функционал V(T) не содержит производных поля по времени. Мы будем называть такие функционалы простыми.
Любой операторный функционал можно записать в Af-фор-ме, а от нее, при желании, перейти к Sym-форме с помощью соотношения (47). В дальнейшем изложении особую роль бу-
А
дет играть симметричный функционал w(t, ср), представляющий оператор взаимодействия в Sym-форме: V (t) =w(ty ф) =
28
л
= Symw(t, ф). В соответствии с предположением^ (t, ф) — простой ^-локальный функционал.* Величину
sv(\, ъ; <?) = — P dty(t, ср) (59)
будем называть функционалом взаимодействия в интервале т2^^С^і для данного квантового взаимодействия V. Функционал взаимодействия на всей оси времени будет обозначаться
S«(q>).
Сразу же подчеркнем, что sv рассматривается просто как некий классический образ заданного квантового взаимодействия, а не как характеристика той классической системы, каноническое квантование которой приводит к рассматриваемой квантовой теории. Функционал sv определяет оператор V однозначно, тогда как каноническое квантование в общем случае неоднозначно.
Переход к- представлению взаимодействия в (57) можно выполнить, опираясь на следующее утверждение: для любого
набора Fi(t\) ... Fn(tn) простых ^-локальных операторных функционалов
Го [F1 «7X) ...Fn(/„)] = T[F1 (t,) ...Fn(/„)]. (60)
Символ T в правой части обозначает виковское Г-произведение.
Чтобы доказать (60), приведем обе части равенства к iV-форме и убедимся, что получающиеся выражения одинаковы.
Правая часть (60) приводится к iV-форме по правилу (50):
T[FAt1) ... Fn(Q] =
= N (ехр \~-Д-^-
(?) ... (?)
(61)
где ST1 представляет Sym-форму оператора F1(Ij), т. е. F^t1) =
= Sym^(?) = ^(?).
Чтобы привести к /V-форме левую часть (60), воспользуемся
определением (54) и приведем к iV-форме по правилу (48) каждый член суммы по перестановкам. В результате придем к выражению
N I ехр ~ ~Д- п + ^
