Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Л
Sym ^(ср) = iVexp
2
Ь
-7T- ^T- П
Ь
Sep
occ
1
7F(cp) = iVexp ¦T-Tu Д
O
2 Sep Ц
F(9) F(9)
9
A '
(45) (46)
Отсюда легко находятся формулы обратных и всевозможных комбинированных преобразований. Например:
NF(v) =¦¦ Sym ехр [-1. ±-п
Л
(47)
Л
71F(Cp) = Sym ехр
5
Sep
(А-л)
5
Sep
F(9)
9
Л
Отправляясь от общей формы теоремы Вика (18) и рассуждая точно так же, как и при выводе соотношения (39), можна получить следующую формулу, являющуюся обобщением соотношения (45) на случай произведения нескольких симметричных операторных функционалов:
п
ехр
2
о
Ці
п
ь
Ці
+
і п
Ь
ocpi
П
(48>
fr
9п=9
Здесь и далее некоммутирующие множители в левой части считаются расположенными в порядке возрастания номеров:
п
П [Sym F1 (ср)] == Sym F1 (<р)
Sym Fn (ср).
»=1
24
Диагональные члены квадратичной формы производных в? (48) порождают свертки внутри сомножителей Fi1 приводя их к нормальной форме, а недиагональные члены дают свертки между разными сомножителями.
Формула (48) очевидным образом обобщается на тот случай, когда некоторые из множителей в левой части записаны не в Sym-, а в TV-форме:
п
П W(T)I
Tvjexp
2
2
Sym
оср.
П
о
°'fi
t П
54
о
5»; і L
п
ъ
Kk
П Fi (ь)
(49)
Здесь обозначает Sym или N, а суммирование в диагональных членах квадратичной формы производится лишь по тем полям, которые соответствуют множителям в Sym-форме. Если все множители записаны в iV-форме, то диагональных членов нет.
Если произведение операторных функционалов стоит под общим знаком какого-либо симметричного произведения, то оно автоматически симметризуется, и можно пользоваться обычными формулами (45), (46). Например:
п
п
T
N
ехр
П Fi (?)
(50>
г-
Л
--9
Но иногда бывает удобно явным образом разделить сверткіг между разными сомножителями. Это можно сделать, переписав. (50) следующим образом:
/vjexp
2
-| П
о
Ці Ці j?j Ці Ци
i<k
Yl F> щ
(51)>
Переход от этого представления к предыдущему осуществляется с помощью обычного приема, основанного на формуле (38).
5. Виковское и дайсоновское Г-произведения. В этом разделе обсуждается вопрос об определении символа T в тех случаях, когда в приводимом выражении содержатся производные поля по аргументу х, в частности по времени. Положим по определению
T [SD1 (X1) ...SDn (хп) 7 (X1) ... і (Xn)] = = S)1 (X1) ... SDn(Xn) T[y(xt) ... у(хп)],
(52>
25>
\
де SDi(X1)—произвольные дифференциальные операции, действующие на аргументы х\. Доопределенное таким образом Г-произведение называется виковским в отличие от дайсонов-ского Г-произведения, которое будет рассмотрено ниже.
Выражение под знаком Г в левой части (52) можно формально представить в виде операторного функционала (44) с сингулярным ядром:
J... Jd)J1 ...CIyn[S)Ky1) ... 2% (уп)Ъ Ух) Ь(хп—Уп)]Х
X і (У,) ... т(уя). (53)
Напомним, что транспонирование дифференциальной операции SD (х) определяется правилом [д/дх]* = —д/дх. Если считать
(53) обычным операторным функционалом и писать
T J ... J dyx ... dynF(yx ... уп) 9 (ух) ... ф (уп) =
= J .,. JcTy1 ... dynF(yx ... з'я)Г[?(Уі) ?(УЛ)]>
то правая часть этого равенства для сингулярного ядра (53) как раз и окажется правой частью (52). Другими словами, правило (52) эквивалентно распространению формулы приведения (46) на случай функционалов с любыми сингулярными ядрами, в том числе и на /-локальные функционалы с производными поля по времени. Отметим, что аналогичное (52) равенство для JV- и Sym-произведений всегда выполнено.
Определим теперь дайсоновское Г-произведение. Пусть
Л
Fi(ti) — произвольные операторы, зависящие от времени (другие аргументы, если они есть, воспринимаются как фиксиро-
А
ванные параметры), причем каждый из Fi является оператором либо бозонного, либо фермионного типа, но не смесью. Дайсоновское Г-произведение этих операторов определяется равенством
Jb [F1 (*,) ...Fn Un)] = 2 еРР [в (1 ... п) F1 (tx) ...Fn (*„)], (54)
P
ъ котором суммирование производится по всем одновремен-
А
ным перестановкам времен t\ в 6-функции и операторов Fi(ti) как целого, а знаковый множитель гр определяется, как обычно, четностью перестановки множителей фермионного типа. В
Л
^частном случае, когда каждый из Fi есть оператор свободного
Л
лоля cp(xi), определение (54) совпадает с обычным виковским
Г-произведением (26). Но в тех случаях, когда Fi содержат производные поля по времени, дайсоновское Г-произведение
(54) уже не совпадает с виковским Г-произведением, определенным правилом (52).
26
Пусть, например, F1 (Zf1) =ср(X1) и F2(I2) = д^ (x2),[dt2. Тогда
T1
D
<Р (X1) of(X2)
0*2
в то время как
<9'f (A2)
e(12)T(*J^ + «e(21)-^?(*t).
T
7 [T(JC1)T(X,)]
= [9 (12) т (X1) т (X2) + хЄ (21) І (X2) т (je,)].
Ясно, что эти два выражения различаются, поскольку при дифференцировании по t2 во втором из них появляются дополнительные слагаемые, содержащие производные 9-функций.
§ 3. S-МАТРИЦА И ФУНКЦИИ ГРИНА
1. Определения. Мы переходим теперь к рассмотрению взаимодействующих квантовых систем, для которых H = H0H-V, где H и H0 — соответственно полный и свободный гамильтонианы, V—гамильтониан взаимодействия.
