Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Третий сомножитель (4) в окрестности точки t = t0 можно заменить единицей. Поэтому, согласно (4), (5) и (6), получаем
Я<Л)(0~| :/о«Га1а,Х\ (7)
[ 2тг
где
а ~ П l)W—h) '
Если произведение аХ велико сравнительно с единицей, то правая часть (7) очень мала. Можно доказать, что в этом случае левая часть также мала. Тот факт, что интеграл от левой части мал1, легко следует, впрочьм, из закона бол пни х чисел, а при практических приложениях только с таким интегралом и приходится иметь дело.
Теперь мы должны еще выразить X через t. Так как разность t — ?0 мала, a F дифференцируема, то разность F— F0 приближенно равна (t — ?„)/„. Следовательно, вместо (7) можно записать
gW{i) “ /fl?f (9)
I
Формула (9) означает, что если h и п-~ h велики, то порядковая статистика xW является асимптотически нормальной случайной величиной со средним значением t0 и квадратичным отклонением
Для выборочной медианы Z отсюда находим
1 ]Г»—1 1 1
?Г_»1 2 ' /о~ 2/0\п '
1 Здесь автор имеет в виду интеграл от g(/ll(0 по такой области изме-
нения t, где a.Y велико сравнительно с единицей. — Прим, перев.
§17. Порядковые статистики 97
В случае нормального распределения с нулевым средним значением и единичной дисперсией
t„ = 0 и = У2л ,
/О
следовательно,
(u>
Для крайних порядковых статистик, т. е. для статистик, у которых малы либо Л, либо п — А, асимптотическая оценка распределения более трудна. Этим оценкам посвящены важные труды Фишера и Типпета, Фреше, Мизеса и Гумбела1. Читателю было бы полезно познакомиться с докладом Уилкса о порядковых статистиках [Wilks S. S., Bull. Amer. Math. Soc., 54 (1948)]2.
Для пары порядковых статистик xW, xW плотность вероятностен f(u, v) может быть вычислена так же, как для одной порядковой статистики. Если, например, мы хотим найти совместное распределение наименьшего и наибольшего наблюдений в выборке, xW и х<-п\ то для этой дели можно воспользоваться тем обстоятельством, что вероятность одновременного осуществления событий xW >и и а;(п) < v (и < v) авна
[^(w) — F(u) \п.
Отсюда дифференцированием по и и с получим искомую плотность вероятностей:
f(u, v) = п(п — 1) [— F(u)]n~2 f(u)f(v). (12)
Одной из важных функций от порядковых статистик, встречающейся во многих приложениях, является размах
W = *<"> — *<». (13)
Функцию распределения размаха H(i) можно получить интегрированием равенства (12):
оо и 4- t
H(t) = P(W < t) --- | J f(u, v) dudv — JduJf(u, v) dv.
Оси—u<Z —~ и
Неопределенный интеграл от f(u, v) no v равен, очевидно, n\_F(v) — ^(и)]"-1 f(u).
1 См. также Смирнов H. В., Предельные распределения для членов вариационного ряда, Труды Мате.чатич. ин-та АН СССР, 25 (1949). — Прим. перев.
2 Законченную теорию предельных распределений крайних членов вариационного ряда дал Б. В. Гнеденко [Ann. of Math. (44), (1943), 423—453].
— Прим. ред,
1 Б. Л. ван дер Влрдсн - 1062
98 Гл. IV. Оценки функций распределения, средних значений и дисперсий
Если подставить пределы интегрирования и и и + t, то получим
и И
Jf{u, v)dv = n\F{u + t) — f(u),
U
следовательно,
oo
H(t) = n | [F{u -f t) — f{u)du. (14)
§ 18. Выборочное среднее значение и выборочная дисперсия
Среди постоянных, которыми характеризуется функция распределения, важнейшими являются среднее значение или математическое ожидание
оо
х = ?,х =J tdF{t) (1)
оо
и дисперсия
оо
Ст* = S(x — i)2 = | (/ — x)4F{t). (2)
oo
Положительный квадратный корень из дисперсии называется квадратичным отклонением сг.
Мы предполагаем, что оба интеграла (1) и (2) сходятся. Как оценить по результатам наблюдений х и <х?
Пусть имеется выборка (xr, . . ., хп), т. е. имеются п наблюденных значений хЛ, . . хп случайной величины х. С точки зрения теории вероятностен хп являются независимыми случай-
