Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
к кд. Ясно, что разность F—Fn достигает максимального значения А в одной из этих точек, причем если хк — точка максимума, то Fn(xk) = (к — 1)6 и
А — хк — (к — 1)6. (5)
Следовательно, событие А > е наступает тогда, когда хотя
бы одна из разностей хк — (к— 1)6 окажется больше е.
.¦? 16. Оценки функций распределения
89
Пусть qk — вероятность того, что это событие произошло в точке с индексом к и не произошло в точках с меньшими индексами
? < к. Так как случаи к= 1,2,. . ..га несовместны, то искомая
вероятность q равна сумме qk:
Я = ?i + Яг -г • • • + дп- (б)
Итак, нам осталось только вычислить qk. Величина qk представляет собой вероятность события
О < .Tj < х2 < . . . < хп < 1, \
xk — {k—\)b>e, j (7)
Xj ¦— (j — 1)5 =s е для j < к. J
Пусть сначала к = 1. Тогда мы имеем лишь неравенства
*!< Ж* <...<*„< 1, ^
Хх > ?.
Следовательно, все xt лежат между е и 1. Вероятность такого случая равна (1 —е)п. Так как всевозможные способы чередования индексов у xt равновероятны, то вероятность события (8)
равна
Я1=п\(1 -?)"¦ (9)
Если, далее, к> 1, то мы положим к = h -j- 1. Тогда (7) распадутся на такие неравенства, которые содержат лишьх1,..., xh:
О < хх < . . . < xh I
, /¦ ¦ I а 0°)
Xj =S ? -L () — 1)6 ДЛЯ ] = I,. . h, \
и такие, которые содержат лишь xh+1,. . ., хп:
Th+1 < Xh+2 <...<*„< 1, )
Xft^_i <С ? “I- Ь(У. \
Неравенство xh < xh+1, связывающее xh и xh+1, является следствием (10) и (11), и поэтому его можно отбросить.
События (10) и (11) относятся к неперекрывающимся интервалам и потому независимы. Следовательно, вероятность события
(7) равна произведению вероятностей событий (10) и (11):
Як = Яь+i = РьГь- (12)
Вероятность rh события (11) можно определить совсем просто. Метод тог же, что и при вычислении вероятности события (8); в результате получим
(13)
90 Гл. IV. Оценки функций распределения, средних значений и дисперсий
При этом предполагается, что 1 —е—Ъ6 0. Если это не так, то событие, соответствующее последнему неравенству в (11), является невозможным и поэтому rh = 0.
Вероятность ph события (10) равна
? ?4-4 ?-(-24 е I (Л—1)6
ph = J dx1 J dx2 J dx3 • • • J dxh. (14)
0 xt x, x*_,
Для h = 1 находим без труда
Pi = ?•
Если вычислить р2 и р3, то возникает предположение, что Ph = ?(е + hbf-\ (15)
Это предположение можно легко проверить полной индукцией по Л. Для Л = 1 оно верно. Предположим, что оно верно для некоторого h а* 1. Согласно (14), имеем
? ? j-б e-i-24 ? rhd
Ph+i = j dxi f dx2 j dx3. . . | dxh+1.
0 x, x, Xh
Если вместо x2, x3, . . xh+1 ввести новые переменные ylt y2,...,yh по формулам
*j = *i + Vj-i,
то окажется, что
?
Ph+i=\RdXi, (16)
О
где
e-fd—Xi ? т 16—xt E-rhd—Xx
B = \ dyi$dyi...$dyh. (17)
о Vi y*-i
Если положить
e + d — xt = e',
то можно заметить, что интеграл В имеет точно такой же вид, как и ph в (14), но только с заменой е на s'. Следовательно, [согласно индуктивному предположению,
R }ле'^' + Л sy-1 = (е + 6 — X,) [е + (Й 4- 1) 6 — x,f~\ (18)
§ 16. Оценки функций распределения
91
Если (18) подставить в (16) и в качестве новой переменной выбрать е + (h -(- 1)6 — хг, то интегрирование станет легко выполнимым. Результат
Ph+1 = (h+l)\ [? + + W
имеет ту же самую форму, что и (15), но только с заменой h на Л+1. Этим завершается доказательство справедливости формулы (15).
Если (13) и (15) подставить в (12), то получим
2* = <е + М)"~г (I - е - (19)
Согласно (9), эта формула справедлива также и для k = 1. Наконец, из (3) и (6) получаем результат, впервые найденный Бернбаумом и Тинги1
