Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если все xt расположены в порядке возрастания их величины и члены такой возрастающей последовательности обозначены ж(л):
*(1) < а;(2) < .. . < х(п\
то каждый из xW называется порядковой статистикой, а соответствующая возрастающая последовательность — вариационным рядом.
Примеры порядковых статистик:
ж® — наименьшее значение, я(л) — наибольшее значение из всех Х{.
Если п — нечетное число:
п = 2 т — 1,
то называется выборочной медианой. Выборочная медиана является приближением медианы С, которая определяется как решение уравнения
*«> = i ¦
Для распределения с симметричной плотностью у = f(t) и, в частности, для нормального распределения медиана С совпадает со средним значением х\ поэтому выборочной медианой я(т) = Z можно в этом случае пользоваться в качестве удобной оценки для х.
94 Гл. IV. Оценки функций распределения, средних значений и дисперсий
Аналогично если п = Ат— 1, то можно определить две выборочные квартили:
Zx = sW и Z3 = a**).
Эти выборочные квартили и выборочная медиана разбивают вариационный ряд х^, . . ., хна четыре части, каждая из которых содержит по г—1 величин. При больших п выборочные квартили близки и квартилям ?х и ?3 соответствующего распределения, которые определяются как решения уравнений
^)=1 и F(C3)=l~.
Точно так же можно определить выборочные секстили Гх и Yъ, которые служат приближенными значениями секстилей 7}х и rj5, определяемых как решения уравнений
F(m) =\ и F(rh) = l.
В случае нормального распределения г}г и т)ъ приближенно равны х — сг их + сг, так как если Ф(х) — функция нормального распределения с нулевым средним значением и единичной дисперсией, то
Ф(_ 1) = 0,16 ... и Ф(-}- 1) = 0,84 ....
Поэтому половина расстояния между выборочными секстилями, построенными по выборке из приближенно нормального распределения, может быть использована как удобная предварительная оценка квадратичного отклонения сг. Оценку для сг можно построить также и с помощью выборочных квартилей; к этому мы вернемся в § 20.
Для того чтобы можно было судить о точности этих оценок, нужно найти функции распределения GW(t) порядковых статистик ?(Л).
Значение GW(t) в точке t определяется как вероятность события х< t. Она равна вероятности того, что наименьшие h из всех п случайных величин х{ окажутся меньше t. Если Wk — вероятность события, которое заключается в тем, что среди Есех Xj имеется ровно к наблюдений, по величине меньших t, то, согласно § 5 (2),
wk =(”)[*W[i -W*. (О
Отсюда
GW(t) = Wh + Wh+1 + ...+Wn. (2)
Поставленная задача решена. Однако это решение несколько неудобно. Поэтому мы предположим, что F(t) дифференцируема, обозначим
*"(0 = /(0
§ 17. Порядковые статистики 95
и, дифференцируя (2) по t, вычислим плотность вероятностей
gM(t) = W'h + W'M +
При дифференцировании гее члены, кроме первого, взаимно уничтожаются и остается лишь
gW(t) п [F(l)f~* [1 - F(t)\”-*f(t). (3)
Произведение Fh~] (1 — F)n~h достигает наибольшего значения в точке
F - h~1 ii — 1 '
Пусть этот случай осуществляется при t — t0. Если обозначим *’о = *’(¦ то из (3) получим
9»«)=S<»«„)( 1 Н -jJj.pl-. (4)
Предположим теперь, что Лип — h велики, и исследуем поведение трех сомножителей (4) в окрестности точки I = 10. Первый сомножитель
J ' °- (h— 1)! (;i — h)1. \„ — j) |ra— lj ‘° можно аппроксимиропать e помощью формулы Стирлинга
п\ ~ пп е~п У^2ггп.
Получаем
Второй сомножитель
прологарифмируем и разложим в ряд ln(?= (A — l)ln (l +^}+ (п— A) In (1 -
(5)
= (А— 1),Л' Л’2‘ ' ,Л Л' Л'3
F0 + (й А)( 1-^ i(l -F„r
и —_1Ц_______
(h — 1) (п — h)
1 ('I — l)3
90 Гл. IV. Оценки функций распределения, средних значений и дисперсий
Отброшенные члены являются величинами порядка не ниже, чем nXz, следоЕательпо, при малых X остаток будет меньше главного члена, который является величиной порядка пХ'1. Если теперь в главном члене (п — I)3 заменить на п2(п — 1) (при больших п приближенная формула от этого не ухудшится), то получим асимптотическую формулу для второго сомножителя:
_ 1 а< X*
Q ~ е 2 (6)
