Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 14. Квадратичные формы и их инварианты
81
вается отрицательно определенной. Таким образом, положительно определенную форму можно преобразовать в единичную форму
G = х1 + х2 + . . . + х„ . (8)
В случае такой единичной формы все скалярные произведения за-
писываются особенно просто:
(ху) = 21 Ш, (их) = V и\х\, (uv) = 2' u'v'r
По теореме о произведении определителей из (3) следует, что
Я' = I Я]п' I = I Я,к ej, | • j 41 = I I • 141 • I
или
Я' ---= Я Д2, (9)
где Л — определитель преобразования (1).
В частности, если преобразуемая форма является единичной формой, то g' = 1, следовательно,
^ = ±Уя-
В. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОДНОГО ИНТЕГРАЛА
Воспользуемся этими алгебраическими вспомогательными средствами для вычисления интеграла
_л 1 Г Г -1 с 1 (2зг) 2 д2- ) . . . е 2 dx'dx- . . . dx". (10)
в
где G -- gikx!xk — положительно определенная квадратичная
форма и область интегрирования В задается двумя линейными неравенствами
(их) > 0, (vx) >0. (11)
Если введением новых переменных х\, . . ,, х'„ преобразовать G в единичную форму (8), то (10) преобразуется в интеграл
I = (2*)“ *[•••[ ^‘ ^ dx{. . . dx'n, (12)
в
где область В определяется неравенствами (и'х') > 0, (v'x') > 0.
Теперь с помощью ортогонального преобразования введем новые переменные уи . . .,уп, полагая (см. § 13)
(их') _ wii'iH-----h и'„ х„
6 13. Л. ван дер Верден ¦ 1062
«- =
82 Гл. III. Математические вспомогательные средства
где
При этом (vx) перейдет в некоторую линейную форму (ку) = г= ЩУ1 Ч • • • т wnyn. Наконец, вторым ортогональным преобразованием вместо у2, ¦ . -,уп введем новые переменные z2,. . zn. полагая снова
^ .«•«»« + —+_“^Уп и и, = /«I -г . . . т- и,-* .
Таким образом, мы получим
— I ( — (1/* Н- г* 4* * * • • )
1 = (2л) 2 I . . .1 е 2 1 ! ” dy, dz2. . . dzn. (13)
в
Фермы {их) — (и’х’) и (vx) = (v'x') в новых переменных задаются фермулами
(их) = иух,
(vx) =-. ¦w1y1 + ICZ2.
Соотр.етствующие скалярные произведения (в силу инвариантно-стн скалярных произведений) равны:
(ии) = (и'и') — и-,
(uv) = (u'v') = uwlt
[vv) = (v'v') = u\ -)- к2,
а область интегрирования В задается неравенствами
иуг> 0, и\уг + wz2 > 0. (14)
Теперь в (13) можно произнести интегрирование по л вместо остальных двух переменных ух и г., внести полярные координаты:
уг = г cos ср, z2 = г sin <р.
Таким образом, получим
1 — ^ J е 2 Г т dr j dcp
Р — а 2tz
Пределы ингегрироьапия по (р определяются так: каждое из неравенств (14) задает в плоскости yfiz2 некоторую полуплоскость (рис. 10). Векторы с компонентами (и, 0) и (и\, w) являются внутренними нормалями к границам этих полуплоскостей, причем
ft 11. Квадратичные формы и их инварианты
83
косинус угла у, заключенного между нормалями, дается формулой
uwx _______ (uv)
COS у --
\ и- У®2 + U'3 I' \uu)(w)
Отсюда следует, что область интегрирования сосредоточена внутри угла, образованного пересечением полуплоскостей, по величине равного л—у. Следовательно,
/J — а. = л — у — arc cos
¦ {uv)
I' (им) (от)
и в свою очередь наш интеграл равен
(15)
т 1 — (ык)
1 = — arc cos -------------------—
1' (ии) (VV)
При этом скалярные произведения можно непосредственно вычислять но формуле
(uv) = gikutvk,
(16)
Рис. 10. Область интегрирования в плоскости ухОгг
не выполняя в денствителыюсти ни одного из трех линейных преобразований координат.
Если бы область В определялась тремя линейными неравенствами
(их) > 0, (vx) > 0, (и х) > 0,
то Еычнслспне интеграла по указанному методу свелось бы к вычислению площади поверхности сферического треугольника. Как известно, эта площадь пропорциональна сферическому избытку, который определяется как разность суммы углов сферического треугольника и л, следовательно,
1 = - |агс cos
(ыо)____
У (ии) (w)
+ arc cos 4- arc cos -
