Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
и] = --- 0,35 *1 I.9.) -
и п! 0.11 [nl -
0,91 1,34.
С пемощыо этой таблицы для каждого такого сочетания, как уууухууххх, можно теперь вычислить значение X по формуле (15). Шестью сочетаниями с наибольшими значениями X являются
1- У У У у У У X х х х Х = 3,31
2. ууууухуххх X — 2,96
3. уууухууххх X = 2,74
4. у у у у у х х у х х X = 2,71
5. у у у х у у у х х х X — 2,50
6- уууухуху хх X = 2,49
Если мы положим Хр — 2,49, то лишь для пяти сочетаний значения X будут превосходить Xfi. При этом предполагается, что в практических применениях критерия X значения X вычисляются лишь с двумя десятичными знаками и что нулевая гипотеза отвергается только тогда, когда вычисленное значение X оказывается строго больше, чем Хр.
Для контроля целесообразно наряду с X вычислять также п Y. Сумма X -\- Y должна быть точно равна пулю (даже при округленных значениях У).
Указанное здесь перечисление всех возможных случаев практически удобно лишь при <7Л «s 20. При больших значениях g и h приходится переходить к асимптотическим оценкам.
§ 65. Критерий X ЗС1
Г, СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ А'
Обозначим значения W буквами аг, . . , , а„:
Согласно (15), статистика X представляет собой сумму
X = 24 = Яг, + «г, - ¦ • ¦ + Or,. (21)
где rY, . , . , rg — некоторая выборка объема д, извлеченная из совокупности п возможных индексов i -- 1, 2, . . ., п. В случае справедливости нулевой гипотезы все такие выборки равновероятны.
Каждое отдельное слагаемое аг суммы (21) принимает значения аи . . . , ап с одинаковыми вероятностями. Следовательно, математическое ожидание каждого аг равио нулю, а поэтому
61=0. (22)
Для того чтобы вычислить дисперсию случайной величины
X, определим сначала среднее значение для а%. Так как <&Т при-
нимает значения а\, . . . , а% с одинаковыми вероятностями, то
So? =,7(а? + --¦+«?)-<?. (23)
Определим теперь среднее значение произведения aTi aTt. Это произведение принимает значения вида ар,. (г ф к) с одинаковыми вероятностями, поэтому
&К°г.) = ^~т} atak . [( у а,) ( v щ) v ^ =
= ¦ (24)
1l(n— 1) ‘ п— 1
Если (21) возвести в квадрат и вычислить среднее значение, то получим
в X2 = д ? а? + д(д — 1) ? araK = gQ — g{^~i Q == ^Zi Я
пли
_2 _ О1’
т Q. (25)
При этом Q, согласно (23), определяется формулой
9=7?[^|Г-
352
Гл. XII. Порядковые критерии
Среднее значение и дисперсия случайной величины X задаются формулами (22) и (25). Величины Q табулированы в табл. 12.
Д. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ X
Пусть хи . . . , xg и уи . . . ,yh —¦ независимые, одинаково распределенные случайные величины, и пусть сначала h велико сравнительно с д. При этом безразлично, велико д или нет. В таком случае справедлива теорема: случайная величина X распределена асимптотически нормально с нулевым средним значением и квадратичным отклонением <гх. Доказательство не представляет трудности; его можно найти в моей работе о критерии X, опубликованной в журнале Math. Ann., 126 (1953), 94.
Согласно только что сформулированной теореме для каждого е> 0 найдется таксе М, что при всех h/g> М функция распределения X будет отличаться от соответствующей функции нормального распределения менее чем на е. Это же самое справедливо и для g/h > М. Таким образом, мы должны еще рассмотреть лишь случай, когда оба отношения g/h и h/g не превосходят М и при этом п = <7 h безгранично возрастает. В этсм случае теорема сб асимптотической нормальности также справедлива, но доказывается она много тяжелее. В реферате моей только что цитированной работы (реферативный журнал Math. Reviews, 15, 46., референт G. Е. Noether) отмечается, что доказательство можно провести с помощью одной теоремы Вальда и Вольфовица, которую в свою очередь можно доказать методом моментов, указанным в § 63 В. Полностью это доказательство провел Стокер в своей Амстердамской диссертации: [см. Stoker, D. J. Оог 'n klas лап toetsings-groothede vir die probleem van twee steekproewe (J 955)].
Поэтому при я. —» oo случайная величина X распределена асимптотически нормально, независимо от того, стремятся в отдельности g и h к бесконечности или нет. Таким образом, статистика X и число инверсий U асимптотически ведут себя различно.
На основе этой теоремы были вычислены таблицы1 для критерия X. При этсм для малых п (т. е. для малых g и h) граница Хр определялась точно, путем перечисления возможных случаев. Для больших п использовалось асимптотическое нормальное распределение. При этсм особое внимание уделялось членам ах и ап, которые могут встретиться среди слагаемых суммы (21). Это позволило существенно улучшить приближение.
