Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
1 Van der Waerden В. L. und Nievergelt E., Tafeln zum Vergleich zweier Stichprohen mittels X-Test und Zeichentest, Springer— Verlag, 1956.
§ 65. Критерий X
363
Е. СЛУЧАЙ. КОГДА НЕКОТОРЫЕ X ИУ МОГУТ БЫТЬ РАВНЫМИ
До сих пор мы предполагали, что х и у обладают непрерывными функциями распределения и отсюда следовало, что возможность осуществления события xt = ук можно не принимать в расчет. Однако на практике xt и ук всегда представляются округленными числами и, следовательно, имеют дискретное распределение; поэтому вполне возможен случай, когда xt = ук. Спрашивается, как в таком случае нужно определять порядковые номера г, и sk, которые используются при вычислении X и Г по формулам (15) и (16)? Такой же вопрос возникает также и в случае критерия Вилкоксона.
Были предложены различные методы. Например, для того чтобы решить, какую из двух равных величин xt и ук считать большей, можно бросать монету. Можно также условиться приписывать средний порядковый номер г -f х/г тем равным величинам ж, = ук, которые, в случае их неравенства, должны были бы иметь порядковые номера г и г + 1. Однако наилучшим оказывается следующий метод.
Мы рассмотрим сейчас наиболее общий случай, когда имеется с = а + Ъ равных величин а^,. . . , ха и уъ . . . , уь, занимающих места с порядковыми номерами г, т +1, . . ., т -f с — 1. Расположим величины *1,. . . , ха, уъ . . . , уь на имеющихся в нашем распоряжении с местах всеми с! возможными способами, для каждой такой перестановки вычислим X и из всех полученных значений X образуем арифметическое среднее.
При практических расчетах этот метод можно упростить. Следует суммировать не с! слагаемых, а лишь с. А именно, нужно по имеющимся в нашем распоряжении порядковым номерам построить сумму
»< = уУг1) + !>г(^! + --- + 5'РЙт1) <2б>
п+ 1J 1 ^ra+lj 1 • • • 1 \п+1
и к суммам X и Y, вычисленным по остальным порядковым номерам, добавить дроби, соответственно равные
4 " АгЛ- <27>
о + b с а + b
Если в другом месте имеется еще с' = о' -f Ъ' равных друг другу величин xt и ук, то вычисляют аналогичное выражение и т. д. Суммированием всех таких выражений1 получают X и соответственно Y.
1 Этот прием формально применим и в случае с = 1, т. е. тогда, когда два соседних члена вариационного ряда не равны друг другу. Поэтому
X и Y можно считать суммами выражений вида (27). — Прим. перев.
23 Б. Л. ван дер Варден - 1062
354
Гл. XII. Порядковые критерии
Эта модификация оказывает лишь небольшое влияние на функцию распределения X Квадратичное отклонение X (а вместе с ним, вероятно, и истинный уровень значимости критерия) несколько уменьшается. Следовательно, если граница Хр остается неизменной, то указанная модификация лишь увеличивает надежность критерия.
Ж. СРАВНЕНИЕ С КРИТЕРИЕМ СТЬЮДЕНТА
Предположим теперь, что все я,- и ук независимы и распределены нормально с единичной дисперсией и средними значениями ц. г= 0 (для ж) и 0 (для у). Далее, предположим, что g фиксировано и h стремится к бесконечности. В этих предположениях мы хотим найти асимптотическую оценку для мощности критерия
X и сравнить ее с мощностью критерия Стьюдента.
Функция мощности P(ji) критерия X определяется как вероятность события
s'(sT1) + y(^i) + --- + s,(s?r) >-*¦-¦ <28>
Так как все перестановки величин хх,. . . , xg являются равновероятными, то мы можем считать, что хг< хг< . . . < xg. В этом случае формулы (13) снова оказываются справедливыми, и вместо (28) можно записать
y(^)+y(^) + ---+y(?fr)>X«' <29>
Если в этом неравенстве, согласно (1), положить
ut = hvt
и п = д + Л, то получим
*(s^) + V|j^) + ... + *(s^]>*,,- WO)
Теперь мы так же, как в § 64 Г, заменим частоты vt близкими к ним вероятностями. Тогда выражение
( hvj + i \
1^+ 0+ lj перейдет в
ду г ho [Xj) + г L Л + 9 + 1
Если, кроме того, в числителе и знаменателе пренебречь теми членами, которые малы сравнительно с Л, то получим
ф ГФ(*|)] = */
У
§ 65. Критерий X
355
и (30) перейдет в
Х1 + Х2 + ¦ ¦ ¦ + Xg > -^/3 • (31)
Наконец, если при Л —> оо X, заменить соответствующим асимптотическим выражением, то (31) перейдет в неравенство
x1 + x2 + ... + xg>Y^W(\-p). (32)
Этот результат является обобщением критерия (7) на случай произвольного д. В том, что мы вернулись к этому критерию, нет ничего удивительного, так как в разделе А этого параграфа мы вывели критерий X, исходя из неравенства (7). В данном же случае мы шли тем же путем, но только в обратном направлении.
