Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Г. ВТОРОЙ СЛУЧАЙ: h ВЕЛИКО СРАВНИТЕЛЬНО С Я
Пусть теперь h велико сравнительно с д. Если мы сначала д зафиксируем; то можно будет применить методы из § 63 Г. Сперва предположим, что д — 2 и что xt и х2 — фиксированные числа.
$ 64. Мощность критерия Вилкоксона
343
Вероятность события у < хг равна Gix-j), а частота этого события, как и (12) § 63, задается отношением
ю* = т-
Так как частота события по вероятности стремится к вероятности события, то величина v± близка к GixJ и точно так же 1?2 близка к G{x2), следовательно, отношение
,. ы,+ U
«X Г«* = -4-*=а
близко к
G(Xj) 4- G(x2).
Поэтому вероятность события U < и или
= * <28> асимптотически равна вероятности события
Gte) + G(x2) < t. (29)
Таким образом, функция распределения случайной величины U/h асимптотически равна функции распределения суммы двух (в общем случае — суммы д) независимых случайных величин, каждая из которых распределена так же, как (?(%), где хг — случайная величина с функцией распределения F(t). Функция распределения случайной величины (?(%) равна вероятности события G(xj) < t или события хг < G-^t), где G-1 — функция, обратная функции G. Таким образом, функция распределения дли G(xx) задается формулой
K(l) = F[G-i(t)]. (30)
Если мы снова предположим, что xt и ук независимы и подчиняются нормальному распределению с единичной дисперсией и математическим ожиданием ц. (для х) и 0 (для у), то
F(t) = Ф(< — у), G{t) = Ф(<),
следовательно,
K{t) = Ф [У(0-/а],
где W — функция,обратная функции нормального распределения Ф.
Согласно нулевой гипотезе, F = G (или ц. = 0), поэтому K(t) = t, т. е. G(xj) подчиняется равномерному распределению в интервале (0,1). При малых /л, а также и во всех тех случаях, когда F не сильно отличается от G, отклонение K(t) от функции равномерного распределения будет небольшим. Во всяком случае, величина Gix-J заключена между нулем и единицей, поэтому ее распре-
344
Гл. XII. Порядковые критерии
деление ограниченно и, значит, существуют моменты всех порядков.
Рассмотрим теперь распределение суммы GixJ + G(х2) или — в общем случае — распределение суммы
G(x 1) + . . . + G(xg).
Согласно центральной предельней теореме (§ 24 Г), при больших <7 эта сумма распределена приближенно нормально. При этсм <7 не обязательно должно быть очень большим: уже при умеренных значениях д приближение оказывается очень хорошим. В том случае, когда G(Xi) подчиняются равномерному распределению, аппроксимация становится отличной для нсех д, начиная с ?7 = 4. Если K(i) несколько отклоняется от функции равномерного распределения, то качество приближения будет лишь немного хуже. Таким образом, если д s* 4, то распределение отношения
I I Ui t/jy U
V, + ... + Vg=--------*-¦-'= д
мало отличается от нормального распределения.
Для того чтобы утверждение об асимптотическом распределении было теоретически правильным, нужно д устремить к бесконечности. При этом безразлично, остается ли отношение h/g ограниченным или оно стремится к бесконечности, так как в обоих случаях U распределено асимптотически нормально. Если уь не слишком велико, то для практических целей нормальное приближение оказывается вполне удовлетворительным уже при д и h 4 и д + h з= 20.
Д. ДРУГИЕ СЛУЧАИ
При малых д (например, д = 2) и больших h можно применять этот же метод; нельзя только распределение суммы G(xг) + + G(x2) заменять нормальным распределением, а нужно воспользоваться точным распределением, для вычисления которого сле-дует применить теорему III, § 4 Г. Если все аг, и ук независимы и нормально распределены с единичной дисперсией и средними значениями ju. (для а:) и 0 (для у) и если д = 2 и h —> оо, то при Р = 0,05, ju. = 1,5 функции мощности критериев Вилкоксона и Стьюдента имеют значения1 соответственно
Р(р.) = 0,64, P'(ijl) = 0,68. (31)
При больших д и h функции P(iи) и Р’(/л.) можно вычислять ПС формулам (16) и (25), где Ъ и Ъ' определяются формулами (17) и
1 Van der Waerden В. L., Proc. Kon. Ned. Arad. Amsterdam. Series A, 55 (1962), 450.
§ 64. Мощность критерии Вилкоксона
345
(26), а с определяется равенством (18). Если положим снова = 0,05 и выберем Ъ /л = 2,03, то получим, что Ъ' /л = 2,08 и
P(fjL) = 0,64, P'(fjL) = 0,67, (32)
т. е. почти тот же самый результат, что и (31).
Другим случаем, в котором легко осуществляются числовые оценки1, является <7=й = Зи/? = 0,05. В этом случае по критерию Вилкоксона пулевую гипотезу Н0 отвергают лишь тогда, когда xv хг, хй н Уу, уг, уг образуют последовательность
