Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
22 Б. Л. ван дер Варден - 1062
338
Гл. XII. Порядковые критерии
А. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ U В СЛУЧАЕ СПРАВЕДЛИВОСТИ ГИПОТЕЗЫ II'
Положим снова
(1)
где zik = 1, если xt > yk, и zik = 0 - в противном случае, и определим среднее значение и дисперсию V с помощью того же метода, которым мы пользовались в § 63 Б. В результате получим1
причем во всех формулах интегрирование производится от — оо до -j- оо.
Предположим, например, что xt распределены нормально со средним значением ft> 0 и единичной дисперсией и что ук распределены нормально с нулевым средним значением и единичной дисперсией.
В этом случае
где область интегрирования определяется неравенством у < х + + [х. Для того чтобы вычислить этот интеграл, мы введем новые переменные t и и с помощью ортогонального преобразования:
1 См. van Dantzig D., Consistency and power of Wilc-oxcns test, Proc. Kon. Ned. Akad., Amsterdam (Section of Sciences), A 54, 1.
& U = ghp,
°~u = ghlig - l)r'2 + (h — l)s- + pq],
<2)
(3)
где
p = ) G(t)dF(t), q =: 1 — p = j F(t) dG(t),
<4)
(6)
(7)
F(i) = Ф(1 - /x), G(t) = Ф(1),
p = 0(t) dO (I — ju.) = Ф(х + p.) d<P(x) =
— oo
— oo
- 4 (.г- *!/¦), ,
> - dx dy,
X + y = t
— X + y = и |/2.
§ 64. Мощность критерия Еилмкссна
Таким образом, получаем
dt du.
где область интегрирования определяется неравенством и /2 < ц.
Если сначала проинтегрировать по t, а затем по «, то найдем
Подстановкой t = —V можно (9) перевести в (10). Следовательно, г- = s2. Далее, если /л. заменить на —/л., то р перейдет в q и s2 — в тг, т. е. s2 перейдет само в себя. Поэтому s2 является четной функцией от /л. Производить дальнейшие преобразования интеграла s2 не имеет смысла, так как при этом не удастся получить простое выражение, зависящее от известных функций. Поэтому мы удовлетворимся тем замечанием, что р, г2 и s2 являются ограниченными функциями от /л. (г2 и s2 даже стремятся к нулю при !± —> оо или — оо) и что эти функции при малых /.(. можно разложить в ряды по степеням /л., начинающиеся с членов
(выписаны лишь члены, содержащие /л° и /л.1).
Наша цель заключается в вычислении мощности одностороннего критерия Вилкоксона, т. е. в вычислении вероятности события U > U? как функции от [л. Обозначим эту функпию Р(ц). Она нам, в частности, потребуется для сравнения мощностей критерия Вилкоксона и критерия Стьюдента. Ведь, как нам известно из § 60, если все х и у независимы и распределены нормально с одинаковыми дисперсиями, то среди всех односторонних критериев с точным уровнем значимости р, предназначенных для сравнения средних значений х и у, односторонний критерий Стьюдента является равномерно наиболее мощным. Так как речь идет об односторонних критериях, то, для определенности, мы снова предположим, что /л. > 0.
Пусть, папрнмер, д =s h. Рассмотрим сначала два случая, Первый случай: д и h — величины одинакового порядка.
(8)
Тогда
(9)
(10)
(П)
(12)
22*
340 Г л. XJJ. Порядковые критерии
Второй случай: h велико сравнительно с д, и д безгранично возрастает.
В обоих случаях мы будем рассматривать лишь такие значения /л, которые являются величинами порядка 1 /Уд. Так как если ju, велико сравнительно с 1/iIд, то искомая функция мощности критерия Вилкоксона и функция мощности критерия Стьюдента будут очень близки к единице, поэтому полное сравнение этих функций (при всех /х > 0) не интересно. Доказывается это так.
Положим U — gh/2 = V и Up — gh/2 = Vй. Среднее значение V равно (р — \/2)gh, следоватг.п.но, оно является величиной порядка \лдЬ. Таким образом, если ju, велико сравнительно с 1/К?, то среднее значение V велико сравнительно с h Уд. Согласно (3), квадратичное отклонение V является величиной порядка Ь.у д и граница Vр также является1 величиной порядка h Уд. Следовательно, вероятность события V > V близка к единице. Так как при любом ju, критерий Вилкоксона не мощнее критерия Стьюдента, то мощность критерия Стьюдента в обоих указанных случаях также будет близка к единице.
