Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
у у у х х х.
Уровень значимости при этом точно равен р = 1/20. При /л = 2 функции мощности критериев Вилкоксона и Стьюдента принимают значения
ад = 0,62, Р'М = 0,65, (33)
следовательно, разность этих значений столь же мала, как и в предыдущих случаях.
Однако при малых д и h критерий Вилкоксона обладает одним недостатком, вследствие которого мощность этого критерия в отдельных случаях существенно снижается. А именно, тогда, когда несколько перестановок имеют одинаковое число инверсий.
Об этом говорилось в § 63 А и там же был указан соответствующий пример. Количество таких примеров можно увеличивать безгранично.
Пусть, например, д = 4, А = 6 и /? = 0,05. Критерий Вилкоксона отвергает нулевую гипотезу в следующих случаях, имеющих 21 инверсию или больше:
1. У У У У У У а- X X X
2. У У У У У х у X X X
3. У У У У X У У X X X
4. У У У У У .е х У X X
5. У У У X У У У X X X
6. У У У У X У х У X X
7. У У У У У X X X У X.
Так как заданный } ровен ь значимости равен 0,05, то следовало
бы отвергнуть 0,05-210 сочетаний, т. е. 10 сочетаний. Однако если к выписанным семи сочетаниям добавить все сочетания с 20 инверсиями, то получим 12 сочетаний; это количество слишком велико. Таким образом, критерий Вилкоксона с р = 1/20 не мощ-
1 См. стр. 452 только что цитированной заметки.
346 Ул. XII. Порядковые критерии
нее того же критерия с /3 = х/зо- в 10 время как критерий Стьюдента с уровнем значимости 1/20, конечно, значительно мощнее того же критерия с уровнем значимости 1/30.
Точно так же можно показать, что в даннсм случае (g = 4, h— 6) критерий Вилкоксона с р — 0,025 не мощнее того же критерия с /3 = 0,02 или двусторонний критерий Вилкоксона с заданным уровнем значимости 0,05 не мощнее двустороннего критерия с заданным уровнем значимости 0,04 и т. д.
Мощность критерия можно было бы увеличить, если в сомнительных случаях вытаскивать карту из специально подобранной колоды и отвергать гипотезу Н0 в том случае, когда извлеченная карта окажется черной масти. Однако лучше всспользсваться более мощным критерием, а именно, критерием X. к изложению которого мы теперь и переходим.
§ 65. Критерий X
А. ЭВРИСТИЧЕСКИЙ вывод
Рассмотрим снова случай д = 2 и Л —> оо. Таким сбразсм, пусть xlt х2, ih ,...,yh — результаты наблюдений и пусть щ — количество величин ук. меньших чем хх, иг — количество величин ук, меньших чем х.2, г\ -- частота события у < ху и v., — частота события у < г,. I. е.
i/o / | \
^--h’ (1)
Количество инверсии равно
U — щ i щ. (2)
Согласно критерию Вилкоксона, нулевая гипотеза отвергается тогда, когда их — щ > U4 или
ь\ + Щ > Ь, где Ъ = ^ . (3)
Вероятность этого события асимптотически равна вероятности события
ад + С(*,)> ъ (4)
(см. § 64 Г).
Сначала мы предположим, что у подчиняется нормальному распределению с нулевым средним значением и единичной дисперсией, т. е.
G(t) = Q(t). (5)
Тогда вместо (4) можно написать
Ф^) + Ф(ж2) > Ъ. (6)
§ 65. Критерий X
347
Если хх и х2 распределены нормально со средним значением /л 0 и единичной дисперсией, то равномерно наиболее мощный критерий для проверки нулевой гипотезы /л = 0 отвергает эту гипотезу тогда, когда
хг + х2 > с, (7)
где постоянная с выбирается таким образом, чтобы вероятность события (7) в случае, если гипотеза /л = 0 верна, точно равнялась /3. Это приводит к условию
<*>
или
с = У2W(\-j3). (9)
Критерий (7) имеет асимптотически ту же самую мощность, что и критерий Стыодента. В этом можно убедиться непосредственно, вычислив мощность критерия (7) и сравнив ее с асимптотической сценкой мощности критерия Стьюдента, вычисленной в § 64 В.
Таким образом, различие асимптотических мощностей критериев Вилкоксона и Стьюдента возникает вследствие того, что в левой части (6) стоит Ф(х1) Ф(х2), тогда как левая часть (7)
равна хг -Ь х2. Статистика хх х.2 позволяет получить несколько лучший критерий.
Подстановка vt — G(xi) = Ф(я,) переводит левую часть (3) в левую часть (6). Однако неравенство (3) можно легко видоизменить таким образом, чтобы в результате той же подстановки получалась левая часть (7). Для этого нужно лишь vt формально заменить величинами !?(»,), где W — функция, обратная функции Ф.
