Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В результате получается видоизмененный критерии, согласно которому нулевая гипотеза отвергается тогда, когда сумма
8 = Щъ) + W(v2) = (Ю)
превосходит надлежащим образом выбранную границу с. Если в (10) положить
ь, = Ф(х,), (11)
то сумма 8 перейдет в хг -f- х2 и получится критерии (7).
При произвольном д вместо (10) нужно рассматривать сумму
(12)
Однако соответствующий критерий будет иметь один недостаток, связанный с тем, что слагаемые суммы (12) могут обращаться
348
Гл. XII. Порядковые критерии
в —оо (при и, = 0) или в + оо (при Uj = h); в этих случаях вычисление суммы невозможно. Для того чтобы преодолеть это затруднение, все ж, (а вместе с ними и и{) располагают в порядке возрастания их величины, затем щ заменяют числами
т-j = Ul + 1, г2 = и2 + 2, . . rg = ug + д, (13)
и, наконец, в знаменатели вместо h подставляют
п + 1 = д + h + 1.
Таким образом, возникает окончательное выражение
* = 5'l;ri) + 51srh) + --- + 5'(/T3)' (14)
Числа rlt. . ., 1¦ определенные равенствами (13), равны порядковым номерам х1г . . ., xg в общем вариационном ряду, составленном по объединенной выборке х1г . . ., xg, уи . . ., yh. Порядковые номера г{ могут принимать лишь значения от 1 до п = д + h, поэтому слагаемые (14) никогда не обращаются в +оо.
Если отвлечься от крайнего случая, когда в (12) некоторые щ близки к 0 или к h (для очень больших h этот случай все равно является очень маловероятным), то окажется, что асимптотическ при h —> оо сумма (14) ведет себя так же, как сумма (12). Изложенный выше эвристический вывод, который сперва привел нас к сумме S и критерию S > с, приводит, таким образом, к более удобней для приложений сумме X и к следующему критерию.
в. критерий х
Пусть п — д -f h случайных величин xl,...,xg н уи . . ,,yh
расположены в порядке их возрастания, и пусть rt (или просто г) — порядковый номер х( н sk (или просто s) — порядковый номер ук. Образуем суммы
* = ? * („-ii i. да
у = 2* (4-,) • <‘б>
В интервале 0 < t < 1 функция W(t) принимает лишь конечные значения и удовлетворяет условию
У(1 —t) = —V(t), (17)
поэтому сумма X -\- Y всегда равна нулю:
*+г=* t-Ы+«"Ш+• ¦ •+у ш=<'*)
§ 65. Критерий X
349
При перемене ролей х и у величина X переходит в Г = —X. Если затем изменить еще и порядок следования (т. е. расположить все х и у не в порядке их возрастания, а в порядке убывания), то ¦—X снова перейдет в X.
Границу Хр следует определить таким образом, чтобы вероятность события
X > Хв, (19)
вычисленная в предположении, что все п! перестановок из хъ . . ., xg> У\> ¦ ¦ ¦> Уь являются равновероятными, была наибольшей и при этом не превосходила /3. Указанное предположение является следствием нулевой гипотезы Н0, которая утверждает, что все и ук независимы и обладают одинаковыми функциями распределения F(x). Сначала эту функцию мы будем считать непрерывной и поэтому возможность осуществления таких событий, как х= ук, можно не принимать в расчет.
Согласно одностороннему критерию X, нулевая гипотеза отвергается, коль скоро сумма X превосходит границу Х?. Этот критерий применяется тогда, когда интересуются, не будут ли Xj, вообще говоря, больше, чем ук? Уровень значимости этого критерия не превосходит /3.
Согласно двустороннему критерию X, нулевая гипотеза отвергается тогда, когда X или Y превосходят границу XЕсли сказывается, что Х> Х^, то считают, что х в среднем больше, чем у. В противоположность этому если Y > Хр, то полагают, что у в среднем больше, чем х. Уровень значимости двустороннего критерия пе превосходит 2/S.
В. ВЫЧИСЛЕНИЕ Хр
При малых д и h границу Хр можно вычислить точно с помощью непосредственного перечисления равновозможных сочетаний. В качестве примера снова рассмотрим случай д = 4, h = 6 и положим
/3 = ^ = 0,025, следовательно, 2(5 = ^ = 0,05.
Количество различных сочетаний вида хуу...х равно |^| = = 210. Сороковая часть этого количества1 равна 5. Таким образом.
1 Как и в случае критерия Вилкоксона, здесь идет речь о целой части Р ^ ||. — Прим. перев.
350 1'л. XII. Порядковые критерии
мы должны выписать 5 таких сочетаний, для которых соответствующие значения X являются наибольшими.
Сначала составим таблицу значений Ч?, округленных до двух
зиа ков:
У | 'i.1 = --- 1,34 !п) =
*1 У.) ¦--= - 0,91 ч> (п) “
»| 1 3 . --- 0.60 ч> 1.') =
11!
